Volumen eines Kegels — Formel, Herleitung & Beispiele

Das Volumen eines Kegels ist der Rauminhalt in seinem Inneren. Für einen Kegel mit Grundkreisradius $r$ und senkrechter Höhe $h$ gilt

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Die Grundfläche ist $\pi r^2$, daher sagt diese Formel eigentlich:

$$\text{Kegelvolumen} = \frac{1}{3}(\text{Grundfläche})(\text{Höhe})$$

Wenn die Grundfläche ein Kreis ist, wird daraus $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Was die Formel bedeutet

Der Faktor $\pi r^2$ ist die Fläche des kreisförmigen Grundkreises. Multipliziert man ihn mit $h$, erhält man das Volumen eines Zylinders mit derselben Grundfläche und Höhe.

Ein Kegel verjüngt sich nach oben, deshalb fasst er weniger als dieser Zylinder. Tatsächlich fasst er bei gleicher Grundfläche und Höhe genau ein Drittel davon.

Das liefert die schnellste Anschauung für die Formel:

$$V_{\text{Kegel}} = \frac{1}{3}V_{\text{Zylinder}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Warum das Drittel auftaucht

Eine übliche Herleitung verwendet Querschnitte. Miss die Höhe $x$ von der Spitze des Kegels nach oben. Auf dieser Höhe skaliert der Radius linear, also gilt

$$\text{Radius in Höhe } x = \frac{r}{h}x$$

Die Querschnittsfläche dort ist

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

Addiert man diese dünnen kreisförmigen Scheiben von $x = 0$ bis $x = h$, erhält man:

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Falls du noch keine Analysis gelernt hast, bleibt die praktische Kernaussage trotzdem einfach: Ein Kegel mit derselben Grundfläche und Höhe wie ein Zylinder hat ein Drittel des Volumens.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Angenommen, ein Kegel hat den Radius $3$ cm und die Höhe $8$ cm.

Beginne mit der Formel:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Setze $r = 3$ und $h = 8$ ein:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Quadriere den Radius und vereinfache:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

Das exakte Volumen ist also

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

Wenn du eine Dezimalnäherung brauchst,

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

Häufige Fehler

1. Den Durchmesser so zu verwenden, als wäre er der Radius. Wenn der Durchmesser $6$ cm ist, dann ist der Radius $3$ cm.
2. Die Mantellinie statt der senkrechten Höhe zu verwenden. Die Volumenformel braucht die gerade Höhe von der Grundfläche zur Spitze.
3. Den Faktor ein Drittel zu vergessen. $\pi r^2 h$ ist die Formel für den Zylinder, nicht für den Kegel.
4. Zu vergessen, den Radius zu quadrieren. In der Formel steht $r^2$, nicht $r$.
5. Kubikeinheiten wegzulassen. Das Volumen sollte in Einheiten wie $\text{cm}^3$ oder $\text{m}^3$ angegeben werden.

Wann die Formel verwendet wird

Diese Formel wird in der Geometrie, bei technischen Abschätzungen, in der Verpackungstechnik und bei allen Aufgaben verwendet, in denen eine Form als Kegel oder annähernd als Kegel modelliert werden kann. Häufige Beispiele sind Trichter, Materialhaufen und kegelförmige Tanks.

Wenn das Objekt nur näherungsweise kegelförmig ist, ist auch das Ergebnis nur eine Näherung. Je näher die Form an einem echten Kegel liegt, desto nützlicher ist die Abschätzung.

Eine schnelle Kontrolle, die Fehler aufdeckt

Wenn ein Kegel und ein Zylinder denselben Grundkreisradius und dieselbe Höhe haben, sollte das Volumen des Kegels um den Faktor $3$ kleiner sein.

Wenn dein Ergebnis für den Kegel also gleich $\pi r^2 h$ ist, hast du wahrscheinlich das $\frac{1}{3}$ vergessen.

Probiere deine eigene Variante

Probiere eine eigene Variante mit Radius $5$ und Höhe $12$. Bevor du rechnest, überlege, ob die exakte Antwort größer oder kleiner als das Zylindervolumen mit denselben Maßen sein sollte. Wenn du ein paar Fälle schnell vergleichen möchtest, löse eine ähnliche Aufgabe mit GPAI Solver.