円錐の体積 — 公式・導出・例題

円錐の体積とは、その内部に入る空間の大きさです。底面の半径が $r$、垂直な高さが $h$ の円錐では、次の公式を使います。

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

底面積は $\pi r^2$ なので、この公式は実際には次のことを表しています。

$$\text{円錐の体積} = \frac{1}{3}(\text{底面積})(\text{高さ})$$

底面が円なら、これが $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ になります。

公式の意味

$\pi r^2$ は円形の底面の面積です。これに $h$ を掛けると、同じ底面と高さをもつ円柱の体積になります。

円錐は先に向かって細くなる形なので、その円柱より入る量は少なくなります。実際、同じ底面積と高さなら、体積はちょうど3分の1です。

このことから、公式の直感的な理解は次のようになります。

$$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}V_{\text{cylinder}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

なぜ3分の1になるのか

標準的な導出の1つは断面を使う方法です。円錐の頂点から上向きに高さ $x$ を測ります。その高さでの半径は相似によって比例して変化するので、

$$\text{高さ } x \text{ における半径} = \frac{r}{h}x$$

その位置での断面積は

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

この薄い円形の断面を $x = 0$ から $x = h$ まで足し合わせると、

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

まだ微積分を学んでいなくても、実用上の結論はシンプルです。同じ底面と高さをもつ円柱に対して、円錐の体積は3分の1になります。

例題

半径が $3$ cm、高さが $8$ cm の円錐を考えます。

まず公式を書きます。

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

$r = 3$、$h = 8$ を代入すると、

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

半径を2乗して整理すると、

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

したがって、正確な体積は

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

です。

小数近似が必要なら、

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

となります。

よくある間違い

1. 直径をそのまま半径として使ってしまうこと。直径が $6$ cm なら、半径は $3$ cm です。
2. 垂直な高さの代わりに母線を使ってしまうこと。体積の公式で必要なのは、底面から頂点までのまっすぐな高さです。
3. 3分の1を忘れること。$\pi r^2 h$ は円柱の公式であり、円錐の公式ではありません。
4. 半径を2乗し忘れること。公式で使うのは $r$ ではなく $r^2$ です。
5. 立方単位を書き忘れること。体積は $\text{cm}^3$ や $\text{m}^3$ のような単位で表します。

この公式を使う場面

この公式は、図形の学習、工学的な見積もり、包装設計、そして形を円錐または円錐に近い形としてモデル化できる問題で使われます。よくある例としては、じょうご、材料の山、円錐形のタンクなどがあります。

物体が完全な円錐ではなく近い形である場合、結果も近似値になります。形が真の円錐に近いほど、その見積もりは有用になります。

ミスを見つける簡単な確認

円錐と円柱の底面の半径と高さが同じなら、円錐の体積は円柱の体積の $3$ 分の $1$ になるはずです。

したがって、円錐の答えが $\pi r^2 h$ と同じになったなら、$\frac{1}{3}$ を入れ忘れている可能性が高いです。

自分でもやってみよう

半径 $5$、高さ $12$ の場合でも試してみましょう。計算する前に、同じ寸法の円柱の体積と比べて、正確な答えが大きいか小さいかを予想してみてください。いくつかのケースをすばやく比べたいなら、GPAI Solver で似た問題を解いてみましょう。