Volume Kerucut — Rumus, Penurunan & Contoh

Volume kerucut adalah banyaknya ruang di dalamnya. Untuk kerucut dengan jari-jari alas $r$ dan tinggi tegak lurus $h$, gunakan

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Luas alasnya adalah $\pi r^2$, jadi rumus ini sebenarnya menyatakan:

$$\text{volume kerucut} = \frac{1}{3}(\text{luas alas})(\text{tinggi})$$

Jika alasnya berbentuk lingkaran, hasilnya menjadi $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Apa arti rumus ini

Faktor $\pi r^2$ adalah luas alas lingkaran. Jika dikalikan dengan $h$, hasilnya adalah volume tabung dengan alas dan tinggi yang sama.

Kerucut lebih meruncing, jadi isinya lebih sedikit daripada tabung tersebut. Bahkan, dengan luas alas dan tinggi yang sama, volumenya tepat sepertiga dari volume tabung.

Itu memberi intuisi tercepat untuk rumus ini:

$$V_{\text{kerucut}} = \frac{1}{3}V_{\text{tabung}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Mengapa faktor sepertiga muncul

Salah satu penurunan standar menggunakan penampang melintang. Ukur tinggi $x$ ke atas dari puncak kerucut. Pada tingkat itu, jari-jarinya berubah secara linear, sehingga

$$\text{jari-jari pada tinggi } x = \frac{r}{h}x$$

Luas penampang di sana adalah

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

Jumlahkan irisan lingkaran tipis itu dari $x = 0$ sampai $x = h$:

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Jika kamu belum mempelajari kalkulus, inti praktisnya tetap sederhana: kerucut dengan alas dan tinggi yang sama seperti tabung memiliki volume sepertiga dari volume tabung.

Satu contoh lengkap

Misalkan sebuah kerucut memiliki jari-jari $3$ cm dan tinggi $8$ cm.

Mulai dengan rumus:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Substitusikan $r = 3$ dan $h = 8$:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Kuadratkan jari-jari dan sederhanakan:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

Jadi volume eksaknya adalah

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

Jika kamu memerlukan pendekatan desimal,

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

Kesalahan yang sering terjadi

1. Menggunakan diameter seolah-olah itu jari-jari. Jika diameternya $6$ cm, maka jari-jarinya adalah $3$ cm.
2. Menggunakan tinggi miring вместо tinggi tegak lurus. Rumus volume memerlukan tinggi lurus dari alas ke puncak.
3. Lupa faktor sepertiga. $\pi r^2 h$ adalah rumus tabung, bukan rumus kerucut.
4. Lupa menguadratkan jari-jari. Rumus menggunakan $r^2$, bukan $r$.
5. Menghilangkan satuan kubik. Volume harus ditulis dalam satuan seperti $\text{cm}^3$ atau $\text{m}^3$.

Kapan rumus ini digunakan

Rumus ini digunakan dalam geometri, perkiraan teknik, pengemasan, dan masalah apa pun ketika suatu bentuk dapat dimodelkan sebagai kerucut atau hampir kerucut. Contoh umum meliputi corong, tumpukan material, dan tangki berbentuk kerucut.

Jika benda tersebut hanya kira-kira berbentuk kerucut, hasilnya juga merupakan perkiraan. Semakin dekat bentuknya ke kerucut sejati, semakin berguna perkiraannya.

Pemeriksaan cepat untuk menangkap kesalahan

Jika sebuah kerucut dan tabung memiliki jari-jari alas dan tinggi yang sama, volume kerucut harus lebih kecil dengan faktor $3$.

Jadi jika jawaban volume kerucutmu sama dengan $\pi r^2 h$, kemungkinan besar kamu melewatkan $\frac{1}{3}$.

Coba versimu sendiri

Coba versimu sendiri dengan jari-jari $5$ dan tinggi $12$. Sebelum menghitung, prediksi apakah jawaban eksaknya harus lebih besar atau lebih kecil daripada volume tabung dengan ukuran yang sama. Jika kamu ingin membandingkan beberapa kasus dengan cepat, selesaikan soal serupa dengan GPAI Solver.