Volumen de un cono — fórmula, derivación y ejemplos

El volumen de un cono es la cantidad de espacio que hay en su interior. Para un cono con radio de la base $r$ y altura perpendicular $h$, se usa

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

El área de la base es $\pi r^2$, así que esta fórmula en realidad dice:

$$\text{volumen del cono} = \frac{1}{3}(\text{área de la base})(\text{altura})$$

Si la base es circular, eso se convierte en $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Qué significa la fórmula

El factor $\pi r^2$ es el área de la base circular. Multiplicarlo por $h$ daría el volumen de un cilindro con la misma base y altura.

Un cono es más estrecho hacia la punta, así que contiene menos que ese cilindro. De hecho, con la misma área de base y altura, contiene exactamente un tercio.

Eso da la intuición más rápida para la fórmula:

$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}V_{\text{cilindro}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Por qué aparece el un tercio

Una derivación estándar usa secciones transversales. Mide la altura $x$ hacia arriba desde la punta del cono. En ese nivel, el radio escala linealmente, así que

$$\text{radio a la altura } x = \frac{r}{h}x$$

El área de la sección transversal allí es

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

Suma esas láminas circulares delgadas desde $x = 0$ hasta $x = h$:

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Si todavía no has estudiado cálculo, la idea práctica sigue siendo simple: un cono con la misma base y altura que un cilindro tiene un tercio del volumen.

Un ejemplo resuelto

Supón que un cono tiene radio $3$ cm y altura $8$ cm.

Empieza con la fórmula:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Sustituye $r = 3$ y $h = 8$:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Eleva al cuadrado el radio y simplifica:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

Así que el volumen exacto es

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

Si necesitas una aproximación decimal,

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

Errores comunes

1. Usar el diámetro como si fuera el radio. Si el diámetro es $6$ cm, el radio es $3$ cm.
2. Usar la generatriz en lugar de la altura perpendicular. La fórmula del volumen necesita la altura recta desde la base hasta la punta.
3. Olvidar el factor un tercio. $\pi r^2 h$ es la fórmula del cilindro, no la del cono.
4. Olvidar elevar al cuadrado el radio. La fórmula usa $r^2$, no $r$.
5. Omitir las unidades cúbicas. El volumen debe escribirse en unidades como $\text{cm}^3$ o $\text{m}^3$.

Cuándo se usa la fórmula

Esta fórmula se usa en geometría, estimaciones de ingeniería, embalaje y en cualquier problema donde una figura pueda modelarse como un cono o un casi cono. Algunos ejemplos comunes son embudos, montones de material y tanques cónicos.

Si el objeto es solo aproximadamente cónico, el resultado también será una aproximación. Cuanto más se parezca la figura a un cono verdadero, más útil será la estimación.

Una comprobación rápida que detecta errores

Si un cono y un cilindro tienen el mismo radio de base y la misma altura, el volumen del cono debe ser menor por un factor de $3$.

Así que, si tu respuesta para el cono resulta igual a $\pi r^2 h$, probablemente olvidaste el $\frac{1}{3}$.

Prueba tu propia versión

Prueba tu propia versión con radio $5$ y altura $12$. Antes de calcular, predice si la respuesta exacta debe ser mayor o menor que el volumen del cilindro con las mismas dimensiones. Si quieres comparar algunos casos rápidamente, resuelve un problema similar con GPAI Solver.