Volume de um Cone — Fórmula, Derivação e Exemplos

O volume de um cone é a quantidade de espaço em seu interior. Para um cone com raio da base $r$ e altura perpendicular $h$, use

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

A área da base é $\pi r^2$, então essa fórmula está dizendo, na verdade:

$$\text{volume do cone} = \frac{1}{3}(\text{área da base})(\text{altura})$$

Se a base for circular, isso se torna $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

O que a fórmula significa

O fator $\pi r^2$ é a área da base circular. Multiplicar por $h$ daria o volume de um cilindro com a mesma base e a mesma altura.

Um cone é mais afunilado, então comporta menos do que esse cilindro. Na verdade, com a mesma área da base e a mesma altura, ele comporta exatamente um terço disso.

Isso dá a intuição mais rápida para a fórmula:

$$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}V_{\text{cilindro}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Por que aparece o um terço

Uma derivação padrão usa seções transversais. Meça a altura $x$ para cima a partir da ponta do cone. Nesse nível, o raio varia linearmente, então

$$\text{raio na altura } x = \frac{r}{h}x$$

A área da seção transversal nesse ponto é

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

Some essas fatias circulares finas de $x = 0$ até $x = h$:

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Se você ainda não estudou cálculo, a conclusão prática continua simples: um cone com a mesma base e a mesma altura que um cilindro tem um terço do volume.

Um exemplo resolvido

Suponha que um cone tenha raio $3$ cm e altura $8$ cm.

Comece com a fórmula:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Substitua $r = 3$ e $h = 8$:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Eleve o raio ao quadrado e simplifique:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

Então o volume exato é

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

Se você precisar de uma aproximação decimal,

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

Erros comuns

1. Usar o diâmetro como se fosse o raio. Se o diâmetro é $6$ cm, o raio é $3$ cm.
2. Usar a geratriz em vez da altura perpendicular. A fórmula do volume precisa da altura reta da base até a ponta.
3. Esquecer o fator um terço. $\pi r^2 h$ é a fórmula do cilindro, não a do cone.
4. Esquecer de elevar o raio ao quadrado. A fórmula usa $r^2$, não $r$.
5. Omitir as unidades cúbicas. O volume deve ser escrito em unidades como $\text{cm}^3$ ou $\text{m}^3$.

Quando a fórmula é usada

Essa fórmula é usada em geometria, estimativas de engenharia, embalagens e em qualquer problema em que uma forma possa ser modelada como um cone ou quase cone. Exemplos comuns incluem funis, pilhas de material e tanques cônicos.

Se o objeto for apenas aproximadamente cônico, o resultado também será uma aproximação. Quanto mais a forma se aproximar de um cone verdadeiro, mais útil será a estimativa.

Uma verificação rápida que detecta erros

Se um cone e um cilindro têm o mesmo raio da base e a mesma altura, o volume do cone deve ser menor por um fator de $3$.

Então, se sua resposta para o cone der igual a $\pi r^2 h$, você provavelmente esqueceu o $\frac{1}{3}$.

Tente sua própria versão

Tente sua própria versão com raio $5$ e altura $12$. Antes de calcular, preveja se a resposta exata deve ser maior ou menor que o volume do cilindro com as mesmas dimensões. Se quiser comparar alguns casos rapidamente, resolva um problema semelhante com o GPAI Solver.