Volume di un cono — formula, dimostrazione ed esempi

Il volume di un cono è la quantità di spazio al suo interno. Per un cono con raggio di base $r$ e altezza perpendicolare $h$, si usa

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

L'area di base è $\pi r^2$, quindi questa formula dice in realtà:

$$\text{volume del cono} = \frac{1}{3}(\text{area di base})(\text{altezza})$$

Se la base è circolare, questo diventa $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Che cosa significa la formula

Il fattore $\pi r^2$ è l'area della base circolare. Moltiplicarlo per $h$ darebbe il volume di un cilindro con la stessa base e la stessa altezza.

Un cono è più affusolato, quindi contiene meno di quel cilindro. Infatti, a parità di area di base e altezza, contiene esattamente un terzo.

Questo dà l'intuizione più rapida della formula:

$$V_{\text{cono}} = \frac{1}{3}V_{\text{cilindro}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Perché compare un terzo

Una dimostrazione standard usa le sezioni trasversali. Misura l'altezza $x$ verso l'alto a partire dalla punta del cono. A quel livello, il raggio varia linearmente, quindi

$$\text{raggio all'altezza } x = \frac{r}{h}x$$

L'area della sezione trasversale in quel punto è

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

Somma queste sottili sezioni circolari da $x = 0$ a $x = h$:

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Se non hai ancora studiato il calcolo, la conclusione pratica resta semplice: un cono con la stessa base e la stessa altezza di un cilindro ha un terzo del volume.

Un esempio svolto

Supponiamo che un cono abbia raggio $3$ cm e altezza $8$ cm.

Parti dalla formula:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Sostituisci $r = 3$ e $h = 8$:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Eleva al quadrato il raggio e semplifica:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

Quindi il volume esatto è

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

Se ti serve un'approssimazione decimale,

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

Errori comuni

1. Usare il diametro come se fosse il raggio. Se il diametro è $6$ cm, il raggio è $3$ cm.
2. Usare l'apotema invece dell'altezza perpendicolare. La formula del volume richiede l'altezza retta dalla base alla punta.
3. Dimenticare il fattore un terzo. $\pi r^2 h$ è la formula del cilindro, non quella del cono.
4. Dimenticare di elevare al quadrato il raggio. La formula usa $r^2$, non $r$.
5. Omettere le unità cubiche. Il volume va scritto in unità come $\text{cm}^3$ o $\text{m}^3$.

Quando si usa la formula

Questa formula si usa in geometria, nelle stime ingegneristiche, nel packaging e in qualsiasi problema in cui una forma possa essere modellata come un cono o quasi-cono. Esempi comuni sono imbuti, cumuli di materiale e serbatoi conici.

Se l'oggetto è solo approssimativamente conico, anche il risultato sarà un'approssimazione. Quanto più la forma è vicina a un vero cono, tanto più utile sarà la stima.

Un controllo rapido che intercetta gli errori

Se un cono e un cilindro hanno lo stesso raggio di base e la stessa altezza, il volume del cono deve essere più piccolo di un fattore $3$.

Quindi, se il risultato per il cono ti viene uguale a $\pi r^2 h$, probabilmente hai dimenticato il $\frac{1}{3}$.

Prova una tua versione

Prova una tua versione con raggio $5$ e altezza $12$. Prima di calcolare, prevedi se la risposta esatta dovrebbe essere maggiore o minore del volume del cilindro con le stesse dimensioni. Se vuoi confrontare rapidamente alcuni casi, risolvi un problema simile con GPAI Solver.