Thể tích hình nón — Công thức, cách suy ra và ví dụ

Thể tích hình nón là lượng không gian bên trong nó. Với hình nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao vuông góc $h$, ta dùng

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Diện tích đáy là $\pi r^2$, nên công thức này thực chất nói rằng:

$$\text{thể tích hình nón} = \frac{1}{3}(\text{diện tích đáy})(\text{chiều cao})$$

Nếu đáy là hình tròn, ta được $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Công thức này có ý nghĩa gì

Thừa số $\pi r^2$ là diện tích của đáy tròn. Nhân với $h$ sẽ cho thể tích của một hình trụ có cùng đáy và cùng chiều cao.

Hình nón thuôn hơn, nên nó chứa ít hơn hình trụ đó. Thực tế, nếu có cùng diện tích đáy và chiều cao, nó chứa đúng bằng một phần ba.

Điều đó cho ta cách hiểu nhanh nhất về công thức:

$$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}V_{\text{cylinder}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Vì sao xuất hiện một phần ba

Một cách suy ra quen thuộc là dùng các thiết diện. Đo chiều cao $x$ từ đỉnh hình nón lên trên. Ở mức đó, bán kính thay đổi tuyến tính, nên

$$\text{bán kính tại độ cao } x = \frac{r}{h}x$$

Diện tích thiết diện tại đó là

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

Cộng các lát tròn mỏng đó từ $x = 0$ đến $x = h$:

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Nếu bạn chưa học giải tích, điều quan trọng về mặt thực hành vẫn rất đơn giản: một hình nón có cùng đáy và cùng chiều cao với hình trụ thì có thể tích bằng một phần ba.

Một ví dụ giải chi tiết

Giả sử một hình nón có bán kính $3$ cm và chiều cao $8$ cm.

Bắt đầu với công thức:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Thế $r = 3$ và $h = 8$:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Bình phương bán kính rồi rút gọn:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

Vậy thể tích chính xác là

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

Nếu cần giá trị gần đúng thập phân,

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

Những lỗi thường gặp

1. Dùng đường kính như thể đó là bán kính. Nếu đường kính là $6$ cm thì bán kính là $3$ cm.
2. Dùng đường sinh thay cho chiều cao vuông góc. Công thức thể tích cần chiều cao thẳng từ đáy đến đỉnh.
3. Quên hệ số một phần ba. $\pi r^2 h$ là công thức của hình trụ, không phải của hình nón.
4. Quên bình phương bán kính. Công thức dùng $r^2$, không phải $r$.
5. Bỏ quên đơn vị khối. Thể tích nên được viết bằng các đơn vị như $\text{cm}^3$ hoặc $\text{m}^3$.

Khi nào dùng công thức này

Công thức này được dùng trong hình học, ước lượng kỹ thuật, đóng gói và mọi bài toán mà vật thể có thể được mô hình hóa như một hình nón hoặc gần giống hình nón. Những ví dụ quen thuộc gồm phễu, đống vật liệu và bồn chứa hình nón.

Nếu vật thể chỉ gần đúng là hình nón, thì kết quả cũng chỉ là gần đúng. Hình dạng càng gần với một hình nón thật, ước lượng càng hữu ích.

Một cách kiểm tra nhanh để phát hiện lỗi

Nếu một hình nón và một hình trụ có cùng bán kính đáy và cùng chiều cao, thì thể tích hình nón phải nhỏ hơn theo hệ số $3$.

Vì vậy, nếu kết quả của bạn cho hình nón lại bằng $\pi r^2 h$, rất có thể bạn đã bỏ sót $\frac{1}{3}$.

Tự thử một bài tương tự

Hãy thử với bán kính $5$ và chiều cao $12$. Trước khi tính, hãy dự đoán xem đáp án chính xác sẽ lớn hơn hay nhỏ hơn thể tích hình trụ có cùng kích thước. Nếu muốn so sánh nhanh vài trường hợp, hãy giải một bài tương tự bằng GPAI Solver.