พื้นที่ผิวของกรวย — สูตร ความยาวเอียง และตัวอย่าง

ในการหาพื้นที่ผิวของกรวย ให้บวกพื้นที่ของฐานวงกลมกับพื้นที่ผิวด้านข้างที่โค้ง สำหรับกรวยกลมตรงที่มีรัศมี $r$ และความยาวเอียง $l$ พื้นที่ผิวทั้งหมดคือ

$$A = \pi r^2 + \pi r l$$

คุณสามารถเขียนสูตรเดียวกันนี้ได้อีกแบบเป็น

$$A = \pi r(r+l)$$

โดยที่ $\pi r^2$ คือพื้นที่ฐาน และ $\pi r l$ คือพื้นที่ผิวข้าง หรือพื้นที่ผิวด้านข้าง ถ้าโจทย์ถามเฉพาะพื้นที่ผิวข้าง ก็ไม่ต้องรวมพจน์ของฐาน

พื้นที่ผิวทั้งหมด กับพื้นที่ผิวข้าง

กรวยมีผิวด้านนอกอยู่ 2 ส่วน คือ ฐานวงกลม 1 ฐาน และผิวโค้งด้านข้าง 1 ส่วน พื้นที่ผิวทั้งหมดหมายถึงรวมทั้งสองส่วนเข้าด้วยกัน

จึงแยกสูตรได้เป็น

$$\text{พื้นที่ผิวทั้งหมด} = \text{พื้นที่ฐาน} + \text{พื้นที่ผิวข้าง}$$ $$A = \pi r^2 + \pi r l$$

ถ้าต้องการเฉพาะพื้นที่ผิวข้าง ให้ใช้

$$A = \pi r l$$

สูตรนี้ใช้สำหรับกรวยกลมตรง ในเรขาคณิตระดับโรงเรียน โดยทั่วไปจะถือว่าเป็นกรณีมาตรฐาน เว้นแต่โจทย์จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

ทำไมสูตรจึงใช้ความยาวเอียง

สูตรนี้ใช้ความยาวเอียง $l$ ไม่ใช่ความสูงตั้งฉาก $h$ ความยาวเอียงคือระยะตามแนวด้านข้างของกรวย จากขอบฐานไปถึงจุดยอด

ถ้ากรวยเป็นกรวยกลมตรง และคุณทราบค่า $r$ กับ $h$ ก็สามารถหาความยาวเอียงได้จากสามเหลี่ยมมุมฉากภายในกรวย:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

ขั้นตอนนี้ใช้ได้ เพราะรัศมี ความสูงตั้งฉาก และความยาวเอียง จะประกอบกันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากในกรวยตรง

ตัวอย่างโจทย์: รัศมี $4$ ซม. ความสูง $3$ ซม.

สมมติว่ากรวยกลมตรงมีรัศมี $4$ ซม. และมีความสูงตั้งฉาก $3$ ซม. เนื่องจากสูตรพื้นที่ผิวต้องใช้ความยาวเอียง จึงต้องหา $l$ ก่อน:

$$l = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

จากนั้นใช้สูตรพื้นที่ผิวทั้งหมด:

$$A = \pi r^2 + \pi r l$$

แทนค่า $r = 4$ และ $l = 5$:

$$A = \pi(4^2) + \pi(4)(5)$$ $$A = 16\pi + 20\pi = 36\pi$$

ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดแบบค่าที่แน่นอนคือ

$$36\pi\ \text{cm}^2$$

ถ้าต้องการค่าประมาณเป็นทศนิยม

$$36\pi \approx 113.1\ \text{cm}^2$$

ตัวอย่างนี้ช่วยตรวจสอบความเข้าใจได้ดี เพราะฐานให้ค่า $16\pi$ และส่วนผิวข้างให้ค่า $20\pi$ เมื่อนำมาบวกกันจะได้ $36\pi$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์พื้นที่ผิวของกรวย

ใช้ความสูงตั้งฉากแทนในสูตร

นิพจน์ $\pi r^2 + \pi r l$ ต้องใช้ความยาวเอียง ถ้าคุณแทน $h$ ลงไปแทน $l$ คำตอบก็มักจะผิด

ลืมดูว่ารวมฐานหรือไม่

บางโจทย์ถามหาพื้นที่ผิวทั้งหมด และบางโจทย์ถามเฉพาะพื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ผิวทั้งหมดรวมฐานด้วย แต่พื้นที่ผิวข้างไม่รวม

สับสนระหว่างรัศมีกับเส้นผ่านศูนย์กลาง

ถ้าโจทย์ให้เส้นผ่านศูนย์กลางของฐานมา ให้หารด้วย $2$ ก่อนแล้วจึงใช้สูตร สัญลักษณ์ $r$ หมายถึงรัศมีเสมอ

ลืมใส่หน่วยกำลังสอง

พื้นที่ผิวเป็นการวัดพื้นที่ปกคลุม ดังนั้นหน่วยคำตอบสุดท้ายต้องเป็นหน่วยกำลังสอง เช่น $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, หรือ $\text{in}^2$

เราใช้พื้นที่ผิวของกรวยเมื่อใด

เราใช้พื้นที่ผิวของกรวยเมื่อสนใจวัสดุที่ใช้คลุมด้านนอกของวัตถุทรงกรวย ในวิชาเรขาคณิต มักเป็นโจทย์การวัดในแบบเรียน ส่วนในชีวิตจริง อาจใช้ในการประมาณปริมาณกระดาษ โลหะ ผ้า หรือสารเคลือบ สำหรับรูปทรงที่ใกล้เคียงกับกรวย

เงื่อนไขของโจทย์ก็สำคัญเช่นกัน ถ้าวัตถุเปิดที่ฐาน อาจต้องพิจารณาเฉพาะพื้นที่ผิวข้างเท่านั้น และถ้าวัตถุไม่สามารถแทนได้ดีด้วยกรวยกลมตรง สูตรมาตรฐานนี้อาจเป็นเพียงค่าประมาณ หรืออาจใช้โดยตรงไม่ได้

วิธีจำสูตรแบบเร็ว

ให้นึกว่า: ฐาน บวก ด้านข้าง

$$\text{พื้นที่ผิวของกรวย} = \pi r^2 + \pi r l$$

พจน์แรกคือพื้นที่วงกลมด้านล่าง พจน์ที่สองคือพื้นที่ผิวโค้งที่หุ้มรอบกรวย

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองโดยใช้รัศมี $6$ ซม. และความสูงตั้งฉาก $8$ ซม. หาความยาวเอียงก่อน แล้วคำนวณทั้งพื้นที่ผิวข้างและพื้นที่ผิวทั้งหมด ถ้าต้องการตรวจคำตอบเพิ่มอีกขั้น ลองทำโจทย์ลักษณะใกล้เคียงกันด้วย GPAI Solver