Volume d’un cône — formule, démonstration et exemples

Le volume d’un cône est la quantité d’espace qu’il contient. Pour un cône de rayon de base $r$ et de hauteur perpendiculaire $h$, on utilise

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

L’aire de la base vaut $\pi r^2$, donc cette formule signifie en réalité :

$$\text{volume du cône} = \frac{1}{3}(\text{aire de la base})(\text{hauteur})$$

Si la base est circulaire, cela devient $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Ce que signifie la formule

Le facteur $\pi r^2$ est l’aire de la base circulaire. En le multipliant par $h$, on obtiendrait le volume d’un cylindre ayant la même base et la même hauteur.

Un cône est plus effilé, donc il contient moins que ce cylindre. En fait, à aire de base et hauteur égales, il contient exactement un tiers de ce volume.

Cela donne l’intuition la plus rapide pour la formule :

$$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}V_{\text{cylinder}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Pourquoi le un tiers apparaît

Une démonstration classique utilise des sections transversales. On mesure la hauteur $x$ à partir de la pointe du cône vers le haut. À ce niveau, le rayon varie linéairement, donc

$$\text{rayon à la hauteur } x = \frac{r}{h}x$$

L’aire de la section à ce niveau est

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

On additionne ces fines tranches circulaires de $x = 0$ à $x = h$ :

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Si vous n’avez pas encore étudié le calcul intégral, l’idée pratique à retenir reste simple : un cône ayant la même base et la même hauteur qu’un cylindre a un volume égal au tiers.

Un exemple détaillé

Supposons qu’un cône ait un rayon de $3$ cm et une hauteur de $8$ cm.

On part de la formule :

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

On remplace $r = 3$ et $h = 8$ :

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

On élève le rayon au carré puis on simplifie :

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

Donc le volume exact est

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

Si vous avez besoin d’une valeur décimale approchée,

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

Erreurs fréquentes

1. Utiliser le diamètre comme s’il s’agissait du rayon. Si le diamètre est de $6$ cm, le rayon est de $3$ cm.
2. Utiliser la génératrice au lieu de la hauteur perpendiculaire. La formule du volume nécessite la hauteur droite entre la base et la pointe.
3. Oublier le facteur un tiers. $\pi r^2 h$ est la formule du cylindre, pas celle du cône.
4. Oublier d’élever le rayon au carré. La formule utilise $r^2$, pas $r$.
5. Oublier les unités cubiques. Un volume doit s’écrire avec des unités comme $\text{cm}^3$ ou $\text{m}^3$.

Quand utilise-t-on cette formule ?

Cette formule est utilisée en géométrie, dans les estimations d’ingénierie, l’emballage et dans tout problème où une forme peut être modélisée par un cône ou une forme presque conique. Parmi les exemples courants, on trouve les entonnoirs, les tas de matériaux et les réservoirs coniques.

Si l’objet n’est qu’approximativement conique, le résultat sera lui aussi une approximation. Plus la forme est proche d’un vrai cône, plus l’estimation sera utile.

Une vérification rapide pour repérer les erreurs

Si un cône et un cylindre ont le même rayon de base et la même hauteur, le volume du cône doit être trois fois plus petit.

Donc, si votre réponse pour le cône est égale à $\pi r^2 h$, vous avez probablement oublié le $\frac{1}{3}$.

Essayez votre propre version

Essayez avec un rayon de $5$ et une hauteur de $12$. Avant de calculer, demandez-vous si la réponse exacte doit être plus grande ou plus petite que le volume du cylindre ayant les mêmes dimensions. Si vous voulez comparer rapidement plusieurs cas, résolvez un problème similaire avec GPAI Solver.