Objętość stożka — wzór, wyprowadzenie i przykłady

Objętość stożka to ilość miejsca wewnątrz tej bryły. Dla stożka o promieniu podstawy $r$ i wysokości $h$ używamy wzoru

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Pole podstawy wynosi $\pi r^2$, więc ten wzór mówi po prostu:

$$\text{objętość stożka} = \frac{1}{3}(\text{pole podstawy})(\text{wysokość})$$

Jeśli podstawa jest kołem, otrzymujemy $\frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Co oznacza ten wzór

Czynnik $\pi r^2$ to pole kołowej podstawy. Pomnożenie go przez $h$ dałoby objętość walca o tej samej podstawie i wysokości.

Stożek zwęża się ku górze, więc mieści mniej niż taki walec. W rzeczywistości przy tym samym polu podstawy i tej samej wysokości mieści dokładnie jedną trzecią tej objętości.

To daje najszybszą intuicję dla wzoru:

$$V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}V_{\text{cylinder}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Skąd bierze się jedna trzecia

Jedno ze standardowych wyprowadzeń używa przekrojów. Mierzymy wysokość $x$ w górę od wierzchołka stożka. Na tym poziomie promień zmienia się liniowo, więc

$$\text{promień na wysokości } x = \frac{r}{h}x$$

Pole przekroju na tej wysokości wynosi

$$A(x) = \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2$$

Dodajemy te cienkie kołowe warstwy od $x = 0$ do $x = h$:

$$V = \int_0^h \pi \left(\frac{r}{h}x\right)^2 dx$$ $$V = \frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx = \frac{\pi r^2}{h^2}\left(\frac{h^3}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Jeśli nie uczyłeś się jeszcze rachunku całkowego, praktyczny wniosek nadal jest prosty: stożek o tej samej podstawie i wysokości co walec ma jedną trzecią jego objętości.

Jeden rozwiązany przykład

Załóżmy, że stożek ma promień $3$ cm i wysokość $8$ cm.

Zaczynamy od wzoru:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Podstawiamy $r = 3$ i $h = 8$:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Podnosimy promień do kwadratu i upraszczamy:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = 24\pi$$

Zatem dokładna objętość wynosi

$$24\pi\ \text{cm}^3$$

Jeśli potrzebujesz przybliżenia dziesiętnego,

$$24\pi \approx 75.4\ \text{cm}^3$$

Częste błędy

1. Używanie średnicy tak, jakby była promieniem. Jeśli średnica wynosi $6$ cm, to promień wynosi $3$ cm.
2. Używanie tworzącej zamiast wysokości. Wzór na objętość wymaga prostej wysokości od podstawy do wierzchołka.
3. Pomijanie czynnika jednej trzeciej. $\pi r^2 h$ to wzór na walec, a nie na stożek.
4. Zapominanie o podniesieniu promienia do kwadratu. We wzorze występuje $r^2$, a nie $r$.
5. Pomijanie jednostek sześciennych. Objętość należy zapisywać w jednostkach takich jak $\text{cm}^3$ lub $\text{m}^3$.

Kiedy używa się tego wzoru

Ten wzór stosuje się w geometrii, szacunkach inżynierskich, pakowaniu oraz w każdym zadaniu, w którym kształt można modelować jako stożek lub bryłę zbliżoną do stożka. Typowe przykłady to lejki, hałdy materiału i zbiorniki stożkowe.

Jeśli obiekt jest tylko w przybliżeniu stożkowy, wynik także będzie przybliżeniem. Im bardziej kształt przypomina prawdziwy stożek, tym bardziej użyteczne będzie oszacowanie.

Szybka kontrola, która wychwytuje błędy

Jeśli stożek i walec mają ten sam promień podstawy i tę samą wysokość, objętość stożka powinna być mniejsza trzykrotnie.

Jeśli więc w wyniku dla stożka otrzymasz $\pi r^2 h$, prawdopodobnie pominąłeś $\frac{1}{3}$.

Spróbuj samodzielnie

Spróbuj samodzielnie dla promienia $5$ i wysokości $12$. Zanim zaczniesz liczyć, przewidź, czy dokładna odpowiedź powinna być większa czy mniejsza od objętości walca o tych samych wymiarach. Jeśli chcesz szybko porównać kilka przypadków, rozwiąż podobne zadanie za pomocą GPAI Solver.