ไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ล

ไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ลใช้อธิบายลักษณะเฉพาะที่ของสนามเวกเตอร์คนละแบบ ไดเวอร์เจนซ์วัดว่าสนามกำลังกระจายออกหรือบีบเข้าบริเวณใกล้จุดหนึ่งหรือไม่ ส่วนเคิร์ลวัดว่าสนามมีแนวโน้มทำให้วัตถุเล็ก ๆ หมุนหรือไม่

ถ้าจะจำความต่างเพียงอย่างเดียว ให้จำแบบนี้: ไดเวอร์เจนซ์เกี่ยวกับการไหลออกเฉพาะที่ และเคิร์ลเกี่ยวกับการหมุนเฉพาะที่

ไดเวอร์เจนซ์วัดการไหลออกหรือไหลเข้าเฉพาะที่

สำหรับสนามเวกเตอร์สามมิติ

$$\mathbf{F} = (P, Q, R),$$

ไดเวอร์เจนซ์คือ

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$$

สูตรนี้คือการนำอัตราการเปลี่ยนแปลงของแต่ละองค์ประกอบในทิศทางของตัวเองมาบวกกัน ถ้าค่าที่ได้เป็นบวกที่จุดหนึ่ง สนามบริเวณนั้นจะมีลักษณะคล้ายการไหลออกมากกว่า ถ้าเป็นลบ ก็จะมีลักษณะคล้ายการไหลเข้ามากกว่า

ภาพแบบการไหลนี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อสนามเวกเตอร์หาอนุพันธ์ได้ใกล้จุดนั้น และแทนปริมาณอย่างเช่นความเร็วจริง ๆ

เคิร์ลวัดการหมุนเฉพาะที่

สำหรับสนามสามมิติเดียวกัน เคิร์ลคือ

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

เคิร์ลวัดการหมุนเฉพาะที่ ถ้าเคิร์ลไม่เป็นศูนย์ แปลว่าสนามมีแนวโน้มทำให้กังหันใบพัดเล็ก ๆ หมุนได้

ในสนามสองมิติ $\mathbf{F} = (P, Q)$ หลายวิชาจะใช้

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

เป็น “เคิร์ล” พูดอย่างเคร่งครัด ค่านี้คือองค์ประกอบแกน $z$ ของเคิร์ลสามมิติเมื่อสนามอยู่ในระนาบ

เปรียบเทียบไดเวอร์เจนซ์กับเคิร์ลด้วยตัวอย่างที่คำนวณครบ

วิธีเปรียบเทียบที่ชัดที่สุดคือวางสนามที่กระจายออกล้วน ๆ ไว้ข้างสนามที่หมุนล้วน ๆ

ก่อนอื่น พิจารณา

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y).$$

สนามนี้ชี้ออกจากจุดกำเนิด และลูกศรจะยาวขึ้นเมื่ออยู่ไกลออกไป ไดเวอร์เจนซ์ของมันคือ

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2.$$

ค่าเคิร์ลแบบ 2D ของมันคือ

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0.$$

ดังนั้นสนามนี้มีไดเวอร์เจนซ์เป็นบวกและไม่มีเคิร์ล มันมีพฤติกรรมเหมือนการกระจายออกเฉพาะที่ล้วน ๆ โดยไม่มีการหมุน

ทีนี้เปรียบเทียบกับ

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x).$$

สนามนี้หมุนวนรอบจุดกำเนิด ไดเวอร์เจนซ์ของมันคือ

$$\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 0 + 0 = 0.$$

ค่าเคิร์ลแบบ 2D ของมันคือ

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

ดังนั้นสนามนี้มีไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ แต่มีเคิร์ลไม่เป็นศูนย์ มันมีพฤติกรรมเหมือนการหมุนเฉพาะที่โดยไม่มีการกระจายออกสุทธิ

นี่คือความต่างหลัก:

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y) \quad \text{กระจายออก,}$$

ขณะที่

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x) \quad \text{หมุนวนรอบ.}$$

ถ้าโจทย์ถามว่าปริมาณแต่ละตัวตรวจจับอะไร ตัวอย่างนี้ก็ตอบได้แล้ว: ไดเวอร์เจนซ์ตรวจจับสนามแรก และเคิร์ลตรวจจับสนามที่สอง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ล

1. คิดว่าไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ลเป็นการวัดแบบเดียวกัน ทั้งสองตอบคำถามคนละอย่าง
2. ลืมว่าเคิร์ลใน 2D มักนำเสนอเป็นสเกลาร์แบบย่อ ไม่ใช่เวกเตอร์สามมิติเต็มรูป
3. คิดว่าไดเวอร์เจนซ์เป็นบวกแปลว่าเวกเตอร์ต้องมีขนาดใหญ่ ไดเวอร์เจนซ์ขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของสนาม ไม่ได้ขึ้นกับความยาวของลูกศรอย่างเดียว
4. คิดว่าไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์แปลว่าสนามเป็นศูนย์ สนามอาจไม่เป็นศูนย์ทุกจุดแต่ยังมีไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ได้
5. ใช้การตีความแบบการไหลโดยไม่ตรวจสอบแบบจำลองก่อน คำว่า “แหล่งกำเนิด” “แหล่งดูด” และ “การหมุน” เป็นภาพทางกายภาพ ไม่ได้เป็นข้อเท็จจริงอัตโนมัติในทุกบริบท

ไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ลถูกใช้ที่ไหน

ไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ลปรากฏในแคลคูลัสเวกเตอร์ การไหลของของไหล และแม่เหล็กไฟฟ้า เพราะมันแยกพฤติกรรมเฉพาะที่ที่สำคัญได้สองแบบ คือการขยายตัวและการหมุน

ในแบบจำลองของไหล ไดเวอร์เจนซ์ใช้อธิบายการอัดตัวหรือการขยายตัวเฉพาะที่ของการไหลได้ ส่วนเคิร์ลใช้อธิบายการหมุนเฉพาะที่ได้ ในแม่เหล็กไฟฟ้า ทั้งสองปริมาณปรากฏในสมการของแมกซ์เวลล์ ซึ่งเชื่อมพฤติกรรมของสนามเข้ากับประจุ กระแส และสนามที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

ในภาพรวม มันช่วยให้คุณอ่านความหมายของสนามเวกเตอร์ได้ ไม่ใช่แค่ดูกราฟลูกศรเท่านั้น

ภาพในใจแบบเร็ว ๆ ที่มักช่วยได้

ลองจินตนาการว่าวางเครื่องมือเล็ก ๆ สองชนิดลงในสนาม:

1. บอลลูนจิ๋วใช้ทดสอบว่าสนามมีแนวโน้มทำให้ขยายหรือบีบอัดรอบจุดหนึ่งหรือไม่ นี่คือแนวคิดของไดเวอร์เจนซ์
2. กังหันใบพัดจิ๋วใช้ทดสอบว่าสนามมีแนวโน้มทำให้มันบิดหมุนหรือไม่ นี่คือแนวคิดของเคิร์ล

สิ่งเหล่านี้เป็นภาพประกอบ ไม่ใช่นิยาม แต่เป็นภาพที่มีประโยชน์เมื่อสนามเรียบและแทนสิ่งที่มีลักษณะคล้ายการไหล

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

พิจารณาสนาม

$$\mathbf{H}(x,y) = (2x,-2y).$$

คำนวณไดเวอร์เจนซ์และค่าเคิร์ลแบบ 2D ของมัน จากนั้นตัดสินว่าสนามนี้มีพฤติกรรมคล้ายการกระจายเฉพาะที่ การหมุนเฉพาะที่ ทั้งสองอย่าง หรือไม่ใช่ทั้งคู่

ถ้าต้องการตรวจสอบเพิ่มอีกข้อ ลอง $\mathbf{K}(x,y) = (x,-x)$ แล้วดูว่าไดเวอร์เจนซ์ เคิร์ล หรือทั้งสองอย่างเปลี่ยนไปหรือไม่