พิกัดเชิงขั้ว — การแปลงพิกัด การเขียนกราฟ และสมการ

พิกัดเชิงขั้วใช้อธิบายจุดด้วยระยะและมุม แทนที่จะใช้ตำแหน่งแนวนอนและแนวตั้ง จุด $(r,\theta)$ หมายถึง “เคลื่อนที่จากจุดกำเนิดออกไป $r$ หน่วย ที่มุม $\theta$ วัดจากแกน $x$ บวก” ระบบนี้มีประโยชน์มากเมื่อกราฟหรือโจทย์ขึ้นอยู่กับระยะจากจุดกำเนิดหรือการหมุนรอบจุดกำเนิดโดยธรรมชาติ

ในการแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วกับพิกัดคาร์ทีเซียน ใช้

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

และ

$$r^2 = x^2 + y^2$$

ถ้าคุณต้องการหามุมจากจุดคาร์ทีเซียน ให้ใช้ควอดแรนต์ร่วมกับ $\tan\theta = \frac{y}{x}$ เมื่อ $x \ne 0$ เงื่อนไขนี้สำคัญ เพราะค่าแทนเจนต์เดียวกันสามารถเกิดได้ในมากกว่าหนึ่งควอดแรนต์

$(r,\theta)$ หมายถึงอะไร

ในพิกัดคาร์ทีเซียน $(3,4)$ หมายถึงเลื่อนไปตามแกน $x$ 3 หน่วย และตามแกน $y$ 4 หน่วย ในพิกัดเชิงขั้ว $(5,\theta)$ หมายถึงเคลื่อนที่ออกจากจุดกำเนิด 5 หน่วย แล้วหมุนไปตามมุม $\theta$

มุมมองนี้เหมาะกับวงกลม เส้นก้นหอย และการเคลื่อนที่รอบศูนย์กลางมากกว่า นอกจากนี้ยังอธิบายได้ว่าทำไมพิกัดเชิงขั้วจึงไม่เป็นเอกลักษณ์: $(r,\theta)$ และ $(r,\theta + 2\pi)$ คือจุดเดียวกัน และ $(r,\theta)$ กับ $(-r,\theta + \pi)$ ก็เป็นจุดเดียวกันเช่นกัน

วิธีแปลงพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียน

ถ้าจะแปลงจากเชิงขั้วเป็นคาร์ทีเซียน ให้นำ $r$ และ $\theta$ ไปแทนใน

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

ถ้าจะแปลงจากคาร์ทีเซียนเป็นเชิงขั้ว ให้หาระยะก่อน:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

จากนั้นเลือกมุม $\theta$ ที่ชี้ไปยังควอดแรนต์ที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น จุด $(-3,3)$ มี $\tan\theta = -1$ แต่มุมที่ถูกต้องอยู่ในควอดแรนต์ II ดังนั้น $\theta = \frac{3\pi}{4}$ ไม่ใช่ $-\frac{\pi}{4}$

มีกรณีพิเศษอยู่หนึ่งกรณี: ที่จุดกำเนิด $r = 0$ และมุมไม่เป็นเอกลักษณ์ ไม่ว่าจะใช้มุมใดก็ได้จุดเดียวกัน

วิธีเขียนกราฟสมการเชิงขั้ว

สมการเชิงขั้วบอกว่า $r$ เปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อ $\theta$ เปลี่ยนไป ซึ่งต่างจากสมการคาร์ทีเซียนที่มักเชื่อมความสัมพันธ์ระหว่าง $y$ กับ $x$ โดยตรง

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมสมการอย่าง $r = 2$, $r = 1 + \cos\theta$, และ $r = \theta$ จึงดูเป็นธรรมชาติในรูปเชิงขั้ว เพราะสมการเหล่านี้อธิบายระยะจากจุดกำเนิดเมื่อมุมเปลี่ยนไป

ตัวอย่างทำโจทย์: แปลง $r = 2\cos\theta$ ให้อยู่ในรูปคาร์ทีเซียน

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าสมการเชิงขั้วอาจซ่อนกราฟที่คุ้นเคยไว้ เริ่มจาก

$$r = 2\cos\theta$$

คูณทั้งสองข้างด้วย $r$:

$$r^2 = 2r\cos\theta$$

ตอนนี้ใช้ $r^2 = x^2 + y^2$ และ $r\cos\theta = x$:

$$x^2 + y^2 = 2x$$

ทำกำลังสองสมบูรณ์:

$$x^2 - 2x + y^2 = 0$$ $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$

ดังนั้นกราฟคือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(1,0)$ และมีรัศมี $1$

สิ่งนี้ยังอธิบายรูปร่างของกราฟด้วย เมื่อ $\theta = 0$ หรือใกล้เคียง $\cos\theta$ เป็นบวกและมีค่ามากที่สุด ดังนั้นเส้นโค้งจึงยื่นไปทางขวา เมื่อ $\cos\theta$ เป็นลบ ค่า $r$ จะติดลบ ซึ่งทำให้จุดถูกพลิกไปอีก $\pi$ และยังคงลากเป็นวงกลมเดิม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในพิกัดเชิงขั้ว

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยอย่างหนึ่งคือคิดว่าแต่ละจุดมีรูปพิกัดเชิงขั้วได้เพียงแบบเดียว ซึ่งไม่จริง ดังนั้นคำตอบสองแบบอาจดูต่างกันแต่ยังอธิบายจุดเดียวกันได้

อีกข้อหนึ่งคือใช้ $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ โดยไม่ตรวจสอบควอดแรนต์ ซึ่งอาจทำให้ได้ทิศทางผิด แม้ว่า $r$ จะถูกต้องก็ตาม

นักเรียนยังมักสับสนระหว่างเรเดียนกับองศา กราฟจะขึ้นอยู่กับว่าโจทย์ใช้หน่วยใด ดังนั้นต้องใช้หน่วยให้สอดคล้องกันตลอด

ข้อผิดพลาดสุดท้ายคือการลืมความหมายของ $r$ ติดลบ มันไม่ได้แปลว่า “ใช้ไม่ได้” แต่แปลว่าให้เคลื่อนที่ไปในทิศตรงข้ามกับมุมที่กำหนด ส่วนที่จุดกำเนิดจะเกิดข้อผิดพลาดตรงกันข้าม คือพยายามบังคับให้มีมุมเดียว ทั้งที่จริงแล้วไม่จำเป็นต้องมีมุมเดียว

พิกัดเชิงขั้วมีประโยชน์เมื่อใด

พิกัดเชิงขั้วมีประโยชน์มากเป็นพิเศษเมื่อโจทย์มีสมมาตรเชิงรัศมีหรือมีการเคลื่อนที่เชิงมุม ตัวอย่างที่พบบ่อย ได้แก่ วงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด เส้นโค้งรูปก้นหอย แบบจำลองการโคจร และสนามหรือคลื่นที่ขึ้นอยู่กับระยะจากจุดศูนย์กลาง

นอกจากนี้ยังมีประโยชน์ในแคลคูลัสและฟิสิกส์ เพราะอินทิกรัลและสมการบางแบบจะง่ายขึ้นเมื่อระยะและมุมเป็นตัวแปรที่เหมาะสมตามธรรมชาติ

ลองแปลงด้วยตัวเอง

ลองทำแบบฝึกหัดของคุณเองกับ $r = 4\sin\theta$ แปลงให้อยู่ในรูปคาร์ทีเซียนและระบุว่ากราฟคืออะไร ถ้าคุณได้วงกลม แสดงว่าคุณกำลังเห็นรูปแบบการแปลงเดียวกันในอีกทิศทางหนึ่ง