อินทิกรัลสองชั้น

อินทิกรัลสองชั้นคือการรวมค่าของฟังก์ชันบนบริเวณสองมิติหนึ่งบริเวณ ถ้า $f(x,y) \ge 0$ มันให้ปริมาตรใต้ผิว $z=f(x,y)$ เหนือบริเวณนั้น ถ้า $f$ มีทั้งค่าบวกและลบ มันจะให้ปริมาตรเชิงเครื่องหมายสุทธิแทน

โดยทั่วไปเขียนได้เป็น

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

โดยที่ $R$ คือบริเวณในระนาบ $xy$ และ $dA$ คือชิ้นส่วนพื้นที่เล็กมาก ในทางปฏิบัติ โจทย์อินทิกรัลสองชั้นช่วงแรก ๆ มักมีประเด็นสำคัญอยู่สองอย่าง คืออ่านบริเวณให้ถูก และเลือกขอบเขตให้ตรงกับบริเวณนั้นจริง ๆ

อินทิกรัลสองชั้นหมายถึงอะไร

มี 3 ส่วนที่ต้องอ่าน:

• $f(x,y)$ คือฟังก์ชันที่เรากำลังรวมค่า
• $R$ คือบริเวณที่เรารวมค่านั้น
• $dA$ หมายถึงชิ้นส่วนพื้นที่เล็กมาก

ดังนั้น $\iint_R f(x,y)\,dA$ จึงหมายถึง “รวมค่าของ $f$ บนชิ้นส่วนพื้นที่เล็ก ๆ ทั้งหมดใน $R$” ถ้า $f(x,y)=1$ ผลลัพธ์ก็คือพื้นที่ของ $R$ พอดี นี่เป็นวิธีตรวจสอบที่ดี เพราะแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลสองชั้นวัดการสะสมบนพื้นที่ ไม่ได้ใช้เฉพาะกับปริมาตรใต้ผิวโค้งเท่านั้น

ทำไมอินทิกรัลสองชั้นจึงมักเขียนเป็นอินทิกรัลซ้อน

ในโจทย์แคลคูลัสหลายข้อ คุณคำนวณอินทิกรัลสองชั้นโดยเปลี่ยนให้เป็นอินทิกรัลเดี่ยวสองชั้นซ้อนกัน บนบริเวณรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และโดยทั่วไปภายใต้เงื่อนไขมาตรฐาน เช่น ฟังก์ชันต่อเนื่องบนบริเวณนั้น คุณสามารถอินทิเกรตทีละตัวแปรได้

สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้า $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

หรือถ้าง่ายกว่า ก็เขียนเป็น

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

ลำดับมีผลต่อการตั้งโจทย์และความสะดวกในการคำนวณ ภายใต้เงื่อนไขตามปกติในรายวิชา อินทิกรัลซ้อนทั้งสองแบบแทนปริมาณเดียวกัน แต่บ่อยครั้งจะมีลำดับหนึ่งที่คำนวณง่ายกว่าอย่างชัดเจน

สำหรับอินทิกรัลเดี่ยว คุณอาจนึกถึงการแบ่งช่วงออกเป็นส่วนเล็ก ๆ ที่มีความกว้าง $dx$ สำหรับอินทิกรัลสองชั้น คุณแบ่งบริเวณออกเป็นสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ที่มีพื้นที่ $dA$

สี่เหลี่ยมเล็กแต่ละอันมีส่วนช่วยประมาณ

$$f(x,y)\,dA.$$

เมื่อรวมส่วนช่วยเหล่านี้ทั่วทั้งบริเวณ ก็จะได้ค่าการสะสมทั้งหมด

ตัวอย่างอินทิกรัลสองชั้นบนสี่เหลี่ยมผืนผ้า

จงหา

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

โดยที่

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

บริเวณนี้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ดังนั้นเขียนเป็นอินทิกรัลซ้อนได้ตรงไปตรงมา:

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

อินทิเกรตตาม $y$ ก่อน ระหว่างขั้นตอนนี้ให้มอง $x$ เป็นค่าคงที่:

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

จากนั้นอินทิเกรตนิพจน์ชั้นนอกตาม $x$:

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

ดังนั้น

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

คำตอบนี้สมเหตุสมผล เพราะ $x+2y$ เป็นบวกทุกจุดบน $R$ ดังนั้นค่าการสะสมทั้งหมดก็ควรเป็นบวกด้วย

อะไรเปลี่ยนไปเมื่อบริเวณไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้า

ถ้าบริเวณไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้า ขอบเขตมักขึ้นอยู่กับอีกตัวแปรหนึ่ง ตัวอย่างเช่น คุณอาจเจอบริเวณที่อธิบายด้วยเส้นโค้งดังนี้

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

กรณีนี้ขอบเขตชั้นในจะไม่เป็นค่าคงที่อีกต่อไป แต่มันเปลี่ยนไปตาม $x$

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการวาดบริเวณจึงสำคัญ ในคำตอบของนักเรียนหลายคน พีชคณิตถูกต้อง แต่บริเวณที่ตั้งกลับผิด

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในอินทิกรัลสองชั้น

1. ใช้ขอบเขตที่ไม่ตรงกับบริเวณที่โจทย์ต้องการ
2. ลืมว่าตัวแปรใดถูกอินทิเกรตก่อน ใน $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ อินทิกรัลชั้นในคืออินทิเกรตตาม $y$
3. มองว่าทั้งสองตัวแปรเปลี่ยนพร้อมกันในขั้นชั้นใน ทั้งที่ตัวแปรชั้นนอกควรถูกมองเป็นค่าคงที่
4. คิดว่าผลลัพธ์เป็นปริมาตรเชิงเรขาคณิตเสมอ แม้ฟังก์ชันจะมีค่าติดลบ ในกรณีนั้นอินทิกรัลสองชั้นให้ปริมาตรเชิงเครื่องหมาย
5. เปลี่ยนลำดับการอินทิเกรตโดยไม่เปลี่ยนขอบเขตให้ถูกต้อง

อินทิกรัลสองชั้นนำไปใช้ที่ไหน

อินทิกรัลสองชั้นปรากฏเมื่อปริมาณหนึ่งกระจายอยู่บนพื้นที่ แทนที่จะกระจายตามเส้น

• ในเรขาคณิต ใช้หาพื้นที่หรือปริมาตรใต้ผิว
• ในฟิสิกส์ ใช้รวมมวลบนแผ่นบางเมื่อความหนาแน่นขึ้นอยู่กับตำแหน่ง
• ในความน่าจะเป็น ปรากฏในแจกแจงร่วมแบบต่อเนื่องของตัวแปรสองตัว
• ในวิศวกรรม ใช้เมื่อปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามผิวหรือหน้าตัด

การตีความขึ้นอยู่กับฟังก์ชันที่อยู่ในอินทิกรัล ถ้าอินทิแกรนด์คือความหนาแน่น ผลลัพธ์คือมวล ถ้าอินทิแกรนด์คือความสูง ผลลัพธ์คือปริมาตรเชิงเครื่องหมาย

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองเปลี่ยนตัวอย่างเป็น

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

บนสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดิม $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$ จากนั้นสลับลำดับการอินทิเกรต แล้วตรวจสอบว่าค่าที่ได้ยังเท่าเดิม ถ้าอยากลองต่ออีกขั้น ให้สำรวจโจทย์คล้ายกันบนบริเวณรูปสามเหลี่ยม ซึ่งขอบเขตจะขึ้นอยู่กับอีกตัวแปรหนึ่ง