การแยกตัวประกอบพหุนาม

การแยกตัวประกอบพหุนามคือการเขียนพหุนามใหม่ให้อยู่ในรูปผลคูณ ตัวอย่างเช่น $x^2 - 5x + 6$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(x - 2)(x - 3)$ นิพจน์ทั้งสองรูปมีค่าเท่ากัน แต่รูปที่แยกตัวประกอบแล้วมักทำให้แก้สมการ ย่อรูป และตีความได้ง่ายกว่า

ถ้าคุณกำลังค้นหาวิธีแยกตัวประกอบพหุนาม แนวคิดหลักนั้นง่ายมาก: ดึงตัวประกอบร่วมออกมาก่อน แล้วค่อยตรวจว่านิพจน์ที่เหลือตรงกับรูปแบบที่รู้จักหรือไม่

การแยกตัวประกอบบอกอะไรได้บ้าง

รูปที่แยกตัวประกอบแล้วจะแสดงโครงสร้างที่ซ่อนอยู่ในรูปกระจาย ถ้า

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3),$$

เราจะอ่านค่าศูนย์ได้ทันทีว่า $x = 2$ หรือ $x = 3$ เรื่องนี้สำคัญเมื่อคุณกำลังแก้สมการ หาจุดตัดแกน $x$ หรือย่อรูปนิพจน์เศษส่วน

ทางลัดนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์ถูกเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณจริง ๆ คุณไม่สามารถอ่านค่าศูนย์ได้โดยตรงจากรูปกระจายเพียงอย่างเดียว

เริ่มจากตัวประกอบร่วมมากที่สุด

ก่อนจะลองใช้รูปแบบใด ให้ตรวจดูก่อนว่าทุกพจน์มีตัวเลข ตัวแปร หรือทั้งสองอย่างร่วมกันหรือไม่ นี่เป็นขั้นตอนที่เร็วที่สุดในการแยกตัวประกอบ และถ้าพลาดขั้นตอนนี้ ปัญหาที่เหลือมักจะยากขึ้น

สำหรับ

$$6x^2 + 9x$$

ทั้งสองพจน์มี $3x$ เป็นตัวประกอบร่วม ดังนั้นให้ดึงออกมาก่อน:

$$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$$

นี่คือรูปที่แยกตัวประกอบสมบูรณ์แล้วเหนือจำนวนเต็ม

รูปแบบที่พบบ่อยและควรสังเกต

โจทย์การแยกตัวประกอบพหุนามจำนวนมากจะง่ายขึ้นมากเมื่อคุณมองออกว่านิพจน์มีรูปแบบแบบใด

ไตรนาม

สำหรับไตรนามในรูป

$$x^2 + bx + c,$$

ให้หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $c$ และบวกกันได้ $b$ วิธีตรงนี้ใช้ได้เมื่อสัมประสิทธิ์หน้าพจน์กำลังสองเป็น $1$

ผลต่างกำลังสอง

ถ้าคุณเห็นรูป

$$a^2 - b^2,$$

จะได้ว่า

$$(a - b)(a + b).$$

วิธีนี้ใช้ได้เพราะพจน์กลางจะหักล้างกันเมื่อคูณกลับออกมา

การจัดกลุ่ม

สำหรับพหุนามสี่พจน์ การจัดกลุ่มอาจช่วยได้ วิธีนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อหลังจากแยกตัวประกอบแต่ละคู่แล้ว มีตัวประกอบทวินามเดียวกันปรากฏออกมา

ตัวอย่างทำทีละขั้น: แยกตัวประกอบ $2x^2 + 7x + 3$

ตัวอย่างนี้แสดงไตรนามที่สัมประสิทธิ์หน้าพจน์กำลังสองไม่ใช่ $1$:

$$2x^2 + 7x + 3.$$

คูณสัมประสิทธิ์หน้าพจน์กำลังสองกับพจน์คงที่:

$$2 \cdot 3 = 6.$$

จากนั้นหาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ $6$ และบวกกันได้ $7$ ซึ่งก็คือ $6$ และ $1$

แยกพจน์กลางโดยใช้สองจำนวนนี้:

$$2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3.$$

จัดกลุ่มพจน์:

$$(2x^2 + 6x) + (x + 3).$$

แยกตัวประกอบแต่ละกลุ่ม:

$$2x(x + 3) + 1(x + 3).$$

ตอนนี้จะเห็นตัวประกอบทวินามร่วม:

$$2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3).$$

ตรวจสอบโดยการกระจาย:

$$(2x + 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3.$$

ถ้าคุณหาคู่จำนวนเต็มที่ใช้ในขั้นตอนนี้ไม่ได้ พหุนามนั้นอาจแยกตัวประกอบได้ด้วยวิธีอื่น หรืออาจแยกได้ไม่สวยในจำนวนเต็ม

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการแยกตัวประกอบพหุนาม

1. ข้ามการหาตัวประกอบร่วมมากที่สุด สำหรับ $4x^2 - 8x$ รูปที่แยกตัวประกอบสมบูรณ์คือ $4x(x - 2)$ ไม่ใช่แค่ $2x(2x - 4)$
2. ฝืนใช้รูปแบบผิด ตัวอย่างเช่น $a^2 + b^2$ ไม่ใช่ผลต่างกำลังสองในระบบจำนวนจริง
3. ทำเครื่องหมายผิด เครื่องหมายผิดเพียงตัวเดียวทำให้พจน์กลางเปลี่ยนทันที
4. ลืมตรวจสอบ การแยกตัวประกอบจะยืนยันได้ก็ต่อเมื่อกระจายกลับแล้วได้พหุนามเดิมตรงกันทุกพจน์

เมื่อไรที่ต้องใช้การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อคุณต้องการ:

1. แก้สมการพหุนาม
2. ย่อรูปนิพจน์เศษส่วน
3. หาจุดตัดแกน x ของกราฟพหุนาม
4. เขียนนิพจน์ใหม่ก่อนทำพีชคณิตหรือแคลคูลัสในขั้นต่อไป

วิธีที่ใช้ขึ้นอยู่กับพหุนามนั้น ๆ บางนิพจน์แยกตัวประกอบได้สวยในจำนวนเต็ม บางนิพจน์ต้องใช้ระบบจำนวนที่กว้างขึ้น และบางนิพจน์ก็ไม่สามารถแยกเป็นส่วนที่ง่ายกว่านี้ได้เลย

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองแยกตัวประกอบ $x^2 - 9x + 20$ โดยเริ่มจากถามว่ามีจำนวนสองจำนวนใดที่คูณกันได้ $20$ และบวกกันได้ $-9$ จากนั้นกระจายคำตอบของคุณเพื่อตรวจสอบ

ถ้าคุณอยากเปรียบเทียบขั้นตอนของตัวเองกับวิธีทำอีกแบบหนึ่ง ลองทำคำตอบของตัวเองในตัวแก้โจทย์หลังจากที่คุณตรวจด้วยการกระจายด้วยมือเสร็จแล้ว