อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์

อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์ในแคลคูลัส หมายถึงการหาว่าปริมาณหนึ่งเปลี่ยนเร็วแค่ไหน โดยอาศัยความสัมพันธ์กับอีกปริมาณหนึ่งที่เราทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงอยู่แล้ว แนวคิดสำคัญนั้นตรงไปตรงมา: เขียนสมการที่เชื่อมตัวแปร หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา แล้วจึงประเมินค่าที่ขณะเฉพาะตามโจทย์

ถ้า $y$ ขึ้นกับ $x$ และ $x$ ขึ้นกับ $t$ โดยสมมติว่าฟังก์ชันเหล่านี้หาอนุพันธ์ได้

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$$

กฎลูกโซ่นี้คือหัวใจของโจทย์อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์ ความต่างคือโจทย์มักเริ่มจากสถานการณ์ทางเรขาคณิตหรือทางกายภาพ ไม่ได้เริ่มจากฟังก์ชันที่เตรียมไว้ให้พร้อม

อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์หมายถึงอะไร

อัตราต่าง ๆ สัมพันธ์กันเพราะตัวแปรต่าง ๆ สัมพันธ์กัน ถ้ารัศมีของวงกลมเปลี่ยน พื้นที่ของมันก็เปลี่ยนด้วย ถ้าความยาวด้านของลูกบาศก์เปลี่ยน ปริมาตรของมันก็เปลี่ยนด้วย สมการที่เชื่อมปริมาณเหล่านี้จะบอกว่าอัตราหนึ่งส่งผลต่ออีกอัตราหนึ่งอย่างไรในขณะเดียวกัน

รูปแบบหลักมีดังนี้:

1. กำหนดตัวแปร
2. เขียนสมการที่เชื่อมตัวแปรเหล่านั้น
3. หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา $t$
4. แทนค่าที่ขณะที่คุณสนใจ
5. แก้หาอัตราที่ไม่ทราบค่า

ทำไมต้องหาอนุพันธ์ก่อนแทนค่าตัวเลข

ในโจทย์อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์ ตัวแปรต่าง ๆ เป็นฟังก์ชันของเวลาที่กำลังเปลี่ยนอยู่ แม้สมการจะไม่ได้แสดง $t$ อย่างชัดเจนก็ตาม นั่นจึงเป็นเหตุผลว่า

$$\frac{d}{dt}(r^2) = 2r\frac{dr}{dt},$$

ไม่ใช่แค่ $2r$

ถ้าคุณแทนค่าตัวเลขเร็วเกินไป คุณอาจลบตัวแปรที่กำลังเปลี่ยนอยู่ทิ้งก่อนที่อนุพันธ์ของมันจะปรากฏ ในกรณีง่าย ๆ คุณอาจยังได้คำตอบถูกโดยบังเอิญ แต่วิธีนี้ไม่น่าเชื่อถือ

ตัวอย่างทำโจทย์: พื้นที่ของวงกลมที่กำลังขยาย

สมมติว่ารัศมีของวงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา

$$\frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/s}.$$

พื้นที่เพิ่มขึ้นเร็วแค่ไหนเมื่อ $r = 5$ cm?

เริ่มจากสูตรพื้นที่:

$$A = \pi r^2$$

หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับเวลา:

$$\frac{dA}{dt} = \pi \frac{d}{dt}(r^2)$$ $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

ตอนนี้แทนค่าที่โจทย์กำหนด คือ $r = 5$ และ $\frac{dr}{dt} = 3$:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi(5)(3) = 30\pi$$

ดังนั้นพื้นที่จึงเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา

$$30\pi \text{ cm}^2/\text{s}.$$

หน่วยมีความสำคัญ รัศมีวัดเป็นเซนติเมตร ดังนั้นพื้นที่จึงเปลี่ยนเป็นตารางเซนติเมตรต่อวินาที

ทำไมตัวอย่างนี้จึงใช้ได้

สูตรเดิมเชื่อม $A$ กับ $r$ ไม่ได้เชื่อม $A$ กับ $t$ เวลาเข้ามาเกี่ยวข้องก็ต่อเมื่อเราเริ่มหาอนุพันธ์ นี่คือแก่นของอัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์: มองทุกปริมาณที่เปลี่ยนแปลงว่าเป็นฟังก์ชันของเวลา แม้ว่าสมการเดิมจะดูเป็นเรขาคณิตล้วน ๆ ก็ตาม

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมโจทย์อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์มักใช้การหาอนุพันธ์โดยปริยาย คุณกำลังหาอนุพันธ์ของสมการที่มีตัวแปรหลายตัวเชื่อมโยงกัน และตัวแปรที่เปลี่ยนแต่ละตัวสามารถทำให้เกิดพจน์อัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวเองได้

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในอัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์

1. แทนค่าก่อนหาอนุพันธ์
2. ลืมว่าตัวแปรอย่าง $r$ หรือ $y$ ขึ้นกับเวลา
3. ใช้ขณะผิด โจทย์ถามหาค่าที่ช่วงเวลาหนึ่งโดยเฉพาะ ไม่ใช่การเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยทั่วไป
4. มองข้ามหน่วยหรือเครื่องหมาย ปริมาณที่กำลังลดลงมักควรให้อัตราติดลบ
5. เขียนสูตรไม่ตรงกับรูปเรขาคณิตหรือสถานการณ์ทางกายภาพ

ควรใช้โจทย์อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์เมื่อไร

อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์ปรากฏเมื่อมีปริมาณที่เปลี่ยนแปลงสองตัวซึ่งยังคงเชื่อมกันด้วยกฎบางอย่าง

กรณีที่พบบ่อย ได้แก่:

1. เรขาคณิต เช่น วงกลม ทรงกลม กรวย และบันไดพาดกำแพง
2. ฟิสิกส์ ซึ่งตำแหน่ง ความเร็ว และปริมาณอื่น ๆ เปลี่ยนไปพร้อมกัน
3. โจทย์วิศวกรรมหรือเคมีที่ปริมาณที่วัดได้ตัวหนึ่งขึ้นกับอีกตัวหนึ่งซึ่งกำลังเปลี่ยนตามเวลา

วิธีนี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์ที่คุณเขียนยังถูกต้องสำหรับสถานการณ์นั้น หากแบบจำลองเปลี่ยน สมการของอัตราการเปลี่ยนแปลงก็อาจเปลี่ยนตามไปด้วย

เช็กลิสต์สั้น ๆ สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์

ลองถามตัวเอง 3 ข้อ:

1. ฉันเขียนความสัมพันธ์ก่อนหาอนุพันธ์แล้วหรือยัง?
2. ตัวแปรที่เปลี่ยนทุกตัวให้พจน์อัตราการเปลี่ยนแปลงเมื่อฉันหาอนุพันธ์เทียบกับ $t$ แล้วหรือยัง?
3. หน่วยสุดท้ายสมเหตุสมผลหรือไม่?

การตรวจสั้น ๆ นี้ช่วยจับข้อผิดพลาดในโจทย์อัตราการเปลี่ยนแปลงสัมพันธ์ได้มากทีเดียว

ลองทำในแบบของคุณเอง

ใช้ตัวอย่างวงกลมเดิม แต่เปลี่ยนอัตราเป็น $\frac{dr}{dt} = 1.5$ cm/s แล้วหาค่าเมื่อ $r = 8$ cm หลังจากนั้นลองทำเวอร์ชันปริมาตรทรงกลม แล้วสังเกตว่าการเปลี่ยนจาก $r^2$ เป็น $r^3$ ทำให้สูตรอัตราสุดท้ายเปลี่ยนอย่างไร ถ้าคุณอยากก้าวต่อไป ลองทำในแบบของคุณเองในตัวแก้โจทย์หลังจากที่คุณเขียนความสัมพันธ์และหาอนุพันธ์ด้วยตัวเองแล้วเท่านั้น