การหาอนุพันธ์ — กฎและตัวอย่าง

การหาอนุพันธ์คือการหาค่าอนุพันธ์ อนุพันธ์บอกว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหน ณ จุดหนึ่ง ดังนั้นในแคลคูลัสจึงใช้ตอบโจทย์เรื่องความชันและอัตราการเปลี่ยนแปลง

วิธีที่เร็วที่สุดในการเลือกกฎที่ถูกต้องคือดูโครงสร้างของนิพจน์ก่อน เป็นกำลังอย่าง $x^5$ เป็นผลบวกอย่าง $x^3 + 2x$ เป็นผลคูณอย่าง $x^2 e^x$ หรือเป็นฟังก์ชันซ้อนฟังก์ชันอย่าง $(3x+1)^4$? กฎการหาอนุพันธ์ที่ใช้ขึ้นอยู่กับโครงสร้างนั้น

ควรใช้กฎการหาอนุพันธ์ข้อไหน?

เริ่มจากดูรูปแบบชั้นนอกสุดของนิพจน์

• ถ้านิพจน์เป็นกำลังเดี่ยวของ $x$ ให้ใช้กฎยกกำลัง
• ถ้ามีพจน์ที่บวกหรือลบกัน ให้หาอนุพันธ์ทีละพจน์
• ถ้ามีนิพจน์ที่เปลี่ยนแปลงสองตัวคูณกัน ให้ใช้กฎผลคูณ
• ถ้ามีนิพจน์ที่เปลี่ยนแปลงตัวหนึ่งหารด้วยอีกตัวหนึ่ง ให้ใช้กฎผลหาร
• ถ้าฟังก์ชันหนึ่งอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง ให้ใช้กฎลูกโซ่

แบบฝึกหัดหลายข้อใช้มากกว่าหนึ่งกฎ ในกรณีนั้น ให้เลือกกฎที่ตรงกับโครงสร้างด้านนอกก่อน

กฎการหาอนุพันธ์หลัก

กฎค่าคงที่

ถ้า $c$ เป็นค่าคงที่ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

จำนวนคงที่ไม่เปลี่ยนเมื่อ $x$ เปลี่ยน

กฎยกกำลัง

ถ้า $n$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

ตัวอย่าง: $\frac{d}{dx}(x^4) = 4x^3$.

กฎค่าคงที่คูณฟังก์ชัน

ถ้า $c$ เป็นค่าคงที่ และ $f$ หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c f'(x)$$

ค่าคงที่จะคงอยู่ข้างหน้า

กฎผลบวกและผลต่าง

ถ้า $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

หาอนุพันธ์ของแต่ละพจน์แยกกัน แล้วคงเครื่องหมายบวกหรือลบเดิมไว้

กฎผลคูณ

ถ้า $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

ใช้กฎนี้เมื่อทั้งสองตัวประกอบขึ้นอยู่กับ $x$

กฎผลหาร

ถ้า $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้ และ $g(x) \ne 0$ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

เงื่อนไข $g(x) \ne 0$ สำคัญ เพราะการหารด้วยศูนย์ไม่มีนิยาม

กฎลูกโซ่

ถ้า $y = f(g(x))$ และทั้งสองฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ในช่วงที่ต้องการ จะได้ว่า

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

ใช้กฎนี้เมื่อฟังก์ชันหนึ่งซ้อนอยู่ภายในอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ทำไมโครงสร้างจึงสำคัญในการหาอนุพันธ์

กฎการหาอนุพันธ์เป็นทางลัดสำหรับรูปแบบนิพจน์ที่พบบ่อย ถ้านิพจน์ง่าย ก็มักใช้เพียงกฎเดียวได้ แต่ถ้านิพจน์ประกอบจากหลายส่วน คุณต้องใช้หลายกฎร่วมกัน

นี่จึงเป็นเหตุผลที่นักเรียนมักผิดพลาดตั้งแต่ก่อนเริ่มหาอนุพันธ์ ทักษะสำคัญไม่ใช่พีชคณิตก่อน แต่คือการมองให้ออกว่าโครงสร้างด้านนอกเป็นแบบใดก่อนจะคำนวณอะไร

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์: ใช้กฎผลคูณและกฎลูกโซ่ร่วมกัน

จงหาอนุพันธ์ของ

$$y = x^2(3x+1)^4$$

โครงสร้างด้านนอกเป็นผลคูณ ดังนั้นเริ่มด้วยกฎผลคูณ กำหนดให้

$$f(x) = x^2 \quad \text{and} \quad g(x) = (3x+1)^4$$

ดังนั้น

$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

หาอนุพันธ์ของตัวประกอบตัวแรก

$$f'(x) = 2x$$

ต่อไปหาอนุพันธ์ของ $g(x) = (3x+1)^4$ ตรงนี้ต้องใช้กฎลูกโซ่ เพราะนิพจน์ด้านในคือ $3x+1$ ไม่ใช่แค่ $x$

$$g'(x) = 4(3x+1)^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$$

แทนค่าทั้งสองส่วนลงไป

$$y' = 2x(3x+1)^4 + x^2 \cdot 12(3x+1)^3$$

นี่เป็นอนุพันธ์ที่ถูกต้องแล้ว ถ้าต้องการเขียนในรูปแยกตัวประกอบ

$$y' = 2x(3x+1)^3[(3x+1) + 6x]$$ $$y' = 2x(3x+1)^3(9x+1)$$

ขั้นตอนที่สำคัญไม่ใช่การแยกตัวประกอบ แต่คือการสังเกตว่านิพจน์ทั้งหมดเป็นผลคูณ ขณะที่ตัวประกอบตัวหนึ่งยังต้องใช้กฎลูกโซ่ด้วย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการหาอนุพันธ์

1. ใช้กฎยกกำลังกับทั้งนิพจน์ ทั้งที่จริงแล้วฟังก์ชันเป็นผลคูณหรือผลหาร
2. ลืมอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านในในกฎลูกโซ่ สำหรับ $(3x+1)^4$ อนุพันธ์เต็มคือ $4(3x+1)^3 \cdot 3$
3. หาอนุพันธ์ของผลคูณด้วยการคูณอนุพันธ์เข้าด้วยกัน โดยทั่วไป $[f(x)g(x)]' \ne f'(x)g'(x)$
4. ลืมเงื่อนไขสำคัญ กฎผลหารกำหนดให้ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์

กฎการหาอนุพันธ์ถูกใช้เมื่อใด

กฎการหาอนุพันธ์ปรากฏทุกที่ที่ปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลงตามอีกปริมาณหนึ่ง ในแคลคูลัส ใช้กับความชันของเส้นสัมผัส การหาค่าสูงสุดต่ำสุด และการสเก็ตช์กราฟ

ในฟิสิกส์ อนุพันธ์ใช้อธิบายปริมาณอย่างความเร็วและความเร่ง ในเศรษฐศาสตร์หรือวิศวกรรม จะใช้เมื่อคุณต้องการการเปลี่ยนแปลงส่วนเพิ่มหรืออัตราการเปลี่ยนแปลง

ลองทำโจทย์การหาอนุพันธ์ที่คล้ายกัน

จงหาอนุพันธ์ของ $y = (x^3 + 1)(2x - 5)^2$ และตัดสินใจว่าควรใช้กฎใดก่อน ถ้าคำตอบของคุณขาดสองพจน์จากกฎผลคูณ หรือขาดอนุพันธ์ของฟังก์ชันด้านในจาก $(2x - 5)^2$ ให้ย้อนกลับไปตรวจดูโครงสร้างด้านนอกก่อนค่อยจัดรูป