อินทิเกรชัน — กฎและตัวอย่าง

อินทิเกรชันหมายถึงการหาแอนติเดอริเวทีฟ หรือการรวมการเปลี่ยนแปลงสะสม ในโจทย์แคลคูลัสเบื้องต้นส่วนใหญ่ คำว่า "อินทิเกรตฟังก์ชันนี้" หมายถึง: หาฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์เป็นอินทิแกรนด์

สำหรับอินทิกรัลไม่จำกัดเขต

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

หมายความว่า $F'(x) = f(x)$. พจน์ $+C$ สำคัญ เพราะแอนติเดอริเวทีฟสองตัวของฟังก์ชันเดียวกันอาจต่างกันด้วยค่าคงที่

ถ้าอินทิกรัลมีขอบเขต เช่น $\int_a^b f(x)\,dx$ จะอธิบายการสะสมสุทธิบนช่วง $[a,b]$. ในเชิงเรขาคณิต ค่านี้มักแทนพื้นที่แบบมีเครื่องหมาย และในการประยุกต์ใช้ อาจแทนปริมาณที่สะสมเพิ่มขึ้นตามเวลา

ควรลองใช้กฎอินทิเกรชันข้อไหนก่อน?

เริ่มจากดูรูปแบบของอินทิแกรนด์

• ถ้าอินทิแกรนด์เป็นผลบวกหรือผลต่าง ให้แยกอินทิเกรตทีละพจน์
• ถ้ามีค่าคงที่คูณอยู่ ให้นำค่าคงที่ออกมานอกอินทิกรัล
• ถ้านิพจน์ตรงกับรูปแบบมาตรฐาน ให้ใช้กฎแอนติเดอริเวทีฟที่ตรงกัน
• ถ้าอินทิแกรนด์เป็นผลคูณ ผลหาร หรือฟังก์ชันประกอบ กฎพื้นฐานอาจยังไม่พอ

เรื่องนี้สำคัญ เพราะอินทิเกรชันมีกระบวนการที่ตายตัวน้อยกว่าการหาอนุพันธ์ ไม่มีกฎข้อเดียวที่จัดการทุกนิพจน์ได้โดยตรง

กฎอินทิเกรชันพื้นฐานที่ควรรู้

กฎค่าคงที่คูณและกฎผลบวก

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่ จะได้ว่า

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการอินทิเกรตทีละพจน์จึงใช้ได้

กฎยกกำลัง

ถ้า $n \ne -1$ แล้ว

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

ตัวอย่าง: $\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C$.

กรณีพิเศษ $\int \frac{1}{x}\,dx$

เมื่อเลขชี้กำลังเป็น $-1$ จะใช้กฎยกกำลังไม่ได้ แต่จะได้ว่า

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

ค่าสัมบูรณ์มีความสำคัญ เพราะ $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ สำหรับ $x \ne 0$

แอนติเดอริเวทีฟมาตรฐานที่พบบ่อย

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

ควรจำรูปเหล่านี้ให้ได้ทันทีที่เห็น เพราะมักปรากฏบ่อยในโจทย์อินทิเกรชันช่วงแรก

ทำไมอินทิเกรชันจึงเหมือนการย้อนกลับการหาอนุพันธ์

การหาอนุพันธ์ถามว่า "ตอนนี้ฟังก์ชันนี้กำลังเปลี่ยนแปลงอย่างไร?" ส่วนอินทิเกรชันถามย้อนกลับว่า "ฟังก์ชันใดบ้างที่อาจให้ค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงนี้?"

เพราะเหตุนี้ การตรวจคำตอบอินทิกรัลด้วยการหาอนุพันธ์ของคำตอบจึงมีประโยชน์มาก ถ้าอนุพันธ์พากลับไปสู่อินทิแกรนด์เดิมได้ แสดงว่าแอนติเดอริเวทีฟนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างอินทิเกรชัน: รวม 3 กฎพื้นฐานเข้าด้วยกัน

จงหา

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx$$

นี่เป็นผลบวก ดังนั้นให้แยกอินทิเกรตแต่ละพจน์

พจน์แรก ใช้กฎยกกำลัง:

$$\int 4x^3\,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$

พจน์ที่สอง ใช้กรณีพิเศษของลอการิทึม:

$$\int -\frac{6}{x}\,dx = -6\ln|x|$$

พจน์ที่สาม ใช้กฎตรีโกณมาตรฐาน:

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x$$

จากนั้นรวมผลลัพธ์เข้าด้วยกัน:

$$\int \left(4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x\right)\,dx = x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C$$

ตรวจสอบด้วยการหาอนุพันธ์:

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 - 6\ln|x| + 2\sin x + C\right) = 4x^3 - \frac{6}{x} + 2\cos x$$

การตรวจแบบนี้ช่วยจับข้อผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายและการลืมค่าคงที่ได้ดีเป็นพิเศษ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการอินทิเกรต

1. ลืม $+C$ ในอินทิกรัลไม่จำกัดเขต
2. ใช้กฎยกกำลังกับ $x^{-1}$. กรณีนี้ต้องเป็น $\ln|x| + C$ ไม่ใช่คำตอบจากกฎยกกำลัง
3. แยกผลคูณเหมือนกับว่า $\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \int g(x)\,dx$. โดยทั่วไปแล้วไม่จริง
4. จำข้อเท็จจริงของอนุพันธ์ย้อนกลับโดยไม่ตรวจเครื่องหมาย เช่น $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

อินทิกรัลจำกัดเขตใช้เมื่อใด

อินทิเกรชันปรากฏขึ้นทุกครั้งที่ปริมาณหนึ่งเกิดจากการเปลี่ยนแปลงเล็ก ๆ จำนวนมากสะสมกัน

• ในเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตอาจแทนพื้นที่แบบมีเครื่องหมายใต้กราฟ
• ในฟิสิกส์ การอินทิเกรตความเร็วให้การกระจัดบนช่วงหนึ่ง
• ในเศรษฐศาสตร์หรือวิศวกรรม อินทิเกรชันใช้สร้างแบบจำลองของต้นทุนสะสม การเติบโต หรือการไหล

เงื่อนไขมีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น ถ้าความเร็วเปลี่ยนเครื่องหมาย การอินทิเกรตความเร็วจะให้การกระจัดสุทธิ ไม่ใช่ระยะทางรวม

เมื่อกฎพื้นฐานใช้ไม่ได้แล้ว

กฎพื้นฐานใช้ได้ดีเมื่ออินทิแกรนด์ตรงกับรูปแบบที่คุ้นเคยอยู่แล้ว ถ้าไม่ตรง คุณอาจต้องใช้การแทนค่า การอินทิเกรตโดยส่วน หรือเทคนิคอื่น

นี่เป็นจุดที่ควรหยุดคิดอย่างมีประโยชน์: ถ้าสูตรไม่เข้ารูปอย่างชัดเจน อย่าฝืนใช้

ลองทำอินทิกรัลที่คล้ายกัน

ลองหา

$$\int \left(5x^2 + \frac{3}{x} - 4\sin x\right)\,dx$$

จากนั้นหาอนุพันธ์ของคำตอบเพื่อตรวจสอบ ถ้าคุณอธิบายได้ว่าทำไมพจน์ตรงกลางจึงกลายเป็นลอการิทึม แสดงว่าคุณเข้าใจข้อยกเว้นสำคัญของกฎยกกำลังแล้ว