กราฟไนควิสต์ (Nyquist Plot)

กราฟไนควิสต์แสดงการตอบสนองเชิงความถี่ของระบบในรูปเส้นโค้งบนระนาบเชิงซ้อน สำหรับแต่ละความถี่ $\omega$ เราจะคำนวณ $G(j\omega)$ หรือในโจทย์ระบบป้อนกลับจะใช้ฟังก์ชันถ่ายโอนรอบวง $L(j\omega)$. ส่วนจริงเป็นพิกัดแนวนอน ส่วนจินตภาพเป็นพิกัดแนวตั้ง ดังนั้นจุดหนึ่งจุดจึงบอกได้ทั้งขนาดและเฟสพร้อมกัน

วิธีอ่านแบบเร็วที่สุดคือ: แต่ละจุดแทนหนึ่งความถี่ ระยะจากจุดกำเนิดคือขนาด และมุมที่วัดจากแกนจริงบวกคือเฟส. ทำให้กราฟไนควิสต์มีประโยชน์มาก แม้ว่าคุณต้องการเพียงเข้าใจลักษณะของการตอบสนองเชิงความถี่ก็ตาม

กราฟไนควิสต์บอกอะไรได้บ้าง

เริ่มจากฟังก์ชันถ่ายโอนในตัวแปร $s$. ถ้าต้องการการตอบสนองเชิงความถี่ ให้แทนค่า

$$s = j\omega$$

แล้วคำนวณนิพจน์เชิงซ้อนที่ได้สำหรับค่า $\omega$ หลาย ๆ ค่า

ถ้า

$$G(j\omega) = x(\omega) + jy(\omega),$$

กราฟไนควิสต์ก็คือเส้นโค้งที่เกิดจากจุด

$$(x(\omega), y(\omega))$$

บนระนาบเชิงซ้อน

สิ่งนี้สำคัญเพราะกราฟเก็บข้อมูลสองอย่างไว้ด้วยกัน:

• $|G(j\omega)|$ บอกขนาด
• $\arg(G(j\omega))$ บอกเฟส

ในกราฟเดียว คุณจะเห็นได้ว่าการตอบสนองเริ่มจากตรงไหน หมุนไปอย่างไร และเข้าใกล้จุดกำเนิดหรือจุดสำคัญอื่นหรือไม่

แนวคิดเบื้องหลังเส้นโค้งนี้

ให้นึกว่าความถี่กำลังพาตัวชี้เคลื่อนที่ไปบนระนาบเชิงซ้อน ที่แต่ละความถี่ ระบบจะให้ผลตอบสนองเชิงซ้อนหนึ่งค่า เมื่อ $\omega$ เปลี่ยน ค่าตอบสนองนั้นก็เคลื่อนที่ และเส้นทางทั้งหมดที่ได้ก็คือกราฟไนควิสต์

ถ้าระบบมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง กิ่งของความถี่ลบจะเป็นภาพสะท้อนของกิ่งความถี่บวกผ่านแกนจริง เงื่อนไขนี้สำคัญมาก คุณควรใช้สมมาตรแบบภาพสะท้อนก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันถ่ายโอนเป็นจำนวนจริงเท่านั้น

ตัวอย่างคำนวณ: $G(s) = \frac{1}{1+s}$

พิจารณาฟังก์ชันถ่ายโอน

$$G(s) = \frac{1}{1+s}.$$

แทน $s = j\omega$:

$$G(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega}.$$

จากนั้นเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปเชิงมุมฉาก:

$$G(j\omega) = \frac{1-j\omega}{1+\omega^2} = \frac{1}{1+\omega^2} - j\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

ดังนั้นส่วนจริงและส่วนจินตภาพคือ

$$x(\omega) = \frac{1}{1+\omega^2}, \qquad y(\omega) = -\frac{\omega}{1+\omega^2}.$$

ตอนนี้รูปร่างของกราฟจะอ่านได้ง่ายแล้ว

เมื่อ $\omega = 0$,

$$G(j0) = 1,$$

ดังนั้นกราฟเริ่มที่จุด $1$ บนแกนจริง

เมื่อ $\omega \to \infty$,

$$G(j\omega) \to 0,$$

ดังนั้นเส้นโค้งจะเคลื่อนเข้าใกล้จุดกำเนิด

สำหรับ $\omega$ ที่เป็นบวก ส่วนจินตภาพเป็นลบ ดังนั้นกิ่งของความถี่บวกจะอยู่ในครึ่งระนาบล่าง

เราสามารถไปได้อีกขั้นและระบุเส้นโค้งที่แน่นอนได้ จุดเหล่านี้เป็นไปตามสมการ

$$x^2 + y^2 = x,$$

ซึ่งเทียบเท่ากับ

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

ดังนั้นกิ่งของความถี่บวกจะลากเป็นครึ่งล่างของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ และมีรัศมี $\frac{1}{2}$. เนื่องจากระบบนี้มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง กิ่งของความถี่ลบจึงเป็นภาพสะท้อนผ่านแกนจริงและทำให้วงกลมครบสมบูรณ์

ตัวอย่างนี้สรุปแนวคิดหลักได้อย่างชัดเจน: กราฟไนควิสต์ก็คือเส้นทางเชิงเรขาคณิตที่เกิดจากฟังก์ชันเชิงซ้อนของความถี่

วิธีอ่านกราฟไนควิสต์อย่างรวดเร็ว

เมื่อคุณเห็นกราฟไนควิสต์ครั้งแรก ให้ถาม 4 คำถามนี้:

1. เส้นโค้งเริ่มที่ไหนเมื่อ $\omega = 0$?
2. เมื่อ $\omega$ มีค่ามากขึ้นมาก ๆ เส้นโค้งไปที่ไหน?
3. กิ่งของความถี่บวกอยู่ในครึ่งระนาบใด?
4. เส้นโค้งผ่านใกล้หรือวนรอบจุดวิกฤตที่สำคัญต่อโจทย์หรือไม่?

สำหรับการตีความพื้นฐาน คำถามสามข้อแรกมักเพียงพอแล้ว สำหรับเสถียรภาพวงปิดในระบบป้อนกลับแบบเอกภาพ จุดวิกฤตคือ $-1 + 0j$ และความหมายของการวนรอบขึ้นอยู่กับโพลของระบบวงเปิดรวมถึงฟังก์ชันที่นำมาพล็อตด้วย ควรระบุเงื่อนไขนี้ให้ชัดเจนก่อนใช้เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับกราฟไนควิสต์

มองว่าเป็นกราฟ $x$-$y$ ทั่วไป

พิกัดแนวนอนและแนวตั้งไม่ใช่ปริมาณที่วัดแยกจากกันสองตัว แต่เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพของผลตอบสนองเชิงซ้อนค่าเดียวกัน

ไม่สนใจว่าความถี่เพิ่มไปทางไหน

เส้นโค้งรูปร่างเดียวกันอาจสื่อความหมายต่างกันได้ ถ้าคุณไม่รู้ว่าความถี่เพิ่มขึ้นไปตามเส้นทางในทิศทางใด

สมมติว่ามีสมมาตรแบบภาพสะท้อนโดยไม่ตรวจสอบก่อน

สำหรับระบบที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง สมมาตรช่วยให้คุณสร้างกิ่งของความถี่ลบได้จากกิ่งของความถี่บวก แต่ถ้าเงื่อนไขนี้ไม่เป็นจริง คุณไม่ควรสมมติว่าเป็นภาพสะท้อนอย่างง่าย

ใช้กฎเสถียรภาพโดยไม่ระบุการตั้งโจทย์

เกณฑ์เสถียรภาพของไนควิสต์มีพลังมาก แต่ขึ้นอยู่กับว่ากำลังพล็อตฟังก์ชันอะไร และขึ้นอยู่กับสมบัติของระบบวงเปิดด้วย จำนวนครั้งที่วนรอบจะมีความหมายก็ต่อเมื่อระบุการตั้งโจทย์เหล่านี้ไว้อย่างชัดเจนแล้ว

กราฟไนควิสต์ถูกใช้เมื่อใด

กราฟไนควิสต์พบได้บ่อยที่สุดในวิชาระบบควบคุม เพราะช่วยให้เห็นทั้งขนาดและเฟสในภาพเดียว แทนที่จะแยกเป็นหลายกราฟ เหมาะสำหรับการเปรียบเทียบการตอบสนองเชิงความถี่ ประเมินพฤติกรรมของระบบป้อนกลับ และตรวจสอบว่าระบบอาจเข้าใกล้ขอบเขตเสถียรภาพที่สำคัญมากน้อยเพียงใด

กราฟนี้ยังปรากฏในงานวิเคราะห์สัญญาณและวงจร เมื่อการตอบสนองเชิงความถี่เชิงซ้อนเป็นสิ่งที่ต้องการพิจารณาโดยตรง แม้จะไม่ใช่การทดสอบเสถียรภาพอย่างเป็นทางการ กราฟนี้ก็ยังเป็นวิธีที่รวดเร็วในการดูว่าระบบเคลื่อนที่บนระนาบเชิงซ้อนอย่างไรเมื่อความถี่เปลี่ยนไป

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองกับ

$$G(s) = \frac{1}{(1+s)^2}.$$

คำนวณ $G(j\omega)$ แยกส่วนจริงและส่วนจินตภาพ แล้วสเก็ตช์ว่ากราฟเริ่มจากที่ใด กิ่งของความถี่บวกเข้าสู่ครึ่งระนาบใด และไปสิ้นสุดที่ไหน ถ้าต้องการไปอีกขั้น ลองตรวจสอบว่าเส้นโค้งนี้ยังมีรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายเหมือนเดิมหรือไม่