วิธีรูทโลคัส

รูทโลคัสเป็นวิธีในวิชาระบบควบคุมที่ใช้ดูว่าโพลของระบบวงปิดสามารถเคลื่อนที่ไปที่ใดได้บ้างเมื่อเกนเปลี่ยนไป ในกรณีมาตรฐานของระบบป้อนกลับลบแบบเวลาต่อเนื่อง เกนนี้มักเขียนเป็น $K \ge 0$ และกราฟจะอยู่บนระนาบเชิงซ้อน $s$-plane

เรื่องนี้สำคัญเพราะตำแหน่งของโพลสัมพันธ์โดยตรงกับพฤติกรรมของระบบ สำหรับระบบเชิงเส้นแบบเวลาต่อเนื่อง โพลที่อยู่ในครึ่งระนาบซ้ายมักสัมพันธ์กับโหมดที่เสถียร ดังนั้นรูทโลคัสจึงเป็นวิธีที่รวดเร็วในการประเมินว่าการเปลี่ยนเกนจะช่วยหรือทำลายเสถียรภาพได้อย่างไร

ถ้าเขียนพจน์ถ่ายโอนแบบวงเปิดเป็น $K G(s)H(s)$ โพลของระบบวงปิดจะเป็นคำตอบของสมการ

$$1 + K G(s)H(s) = 0$$

ดังนั้น รูทโลคัสก็คือเซตของตำแหน่งโพลวงปิดทั้งหมดเมื่อ $K$ เปลี่ยนค่า

กราฟ Root Locus แสดงอะไร

กราฟนี้ไม่ได้แสดงจุดใดก็ได้แบบสุ่ม แต่แสดงตำแหน่งโพลวงปิดที่เป็นไปได้สำหรับแบบจำลองป้อนกลับหนึ่งแบบโดยเฉพาะ และสำหรับช่วงของเกนที่กำหนด

มีข้อเท็จจริง 2 ข้อที่ช่วยให้เข้าใจภาพรวมได้มากที่สุด:

• แขนงของกราฟเริ่มต้นที่โพลวงเปิดเมื่อ $K = 0$
• แขนงของกราฟสิ้นสุดที่ซีโร่วงเปิด หรือมุ่งสู่อินฟินิตี้เมื่อ $K \to \infty$

จึงทำให้คำถามเชิงปฏิบัติง่ายมาก: ถ้าคุณเพิ่มเกน โพลจะเคลื่อนไปทางไหน?

ทำไมนักเรียนจึงใช้ Root Locus

ให้มองรูทโลคัสเป็นแผนภาพการเคลื่อนที่ของโพล คุณไม่ได้แก้ปัญหาใหม่ทั้งหมดสำหรับทุกค่าของ $K$ แต่กำลังติดตามเส้นทางที่โพลเคลื่อนตามเมื่อเกนเปลี่ยนอย่างต่อเนื่อง

นี่จึงเป็นเหตุผลที่วิธีนี้มีประโยชน์ในการออกแบบ แทนที่จะลองเกนหลายค่าแยกกันทีละค่า คุณสามารถเห็นแนวโน้มโดยรวมได้จากกราฟเดียว

ตัวอย่างคำนวณ: Root Locus ของ $L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$

พิจารณาพจน์ถ่ายโอนแบบวงเปิด

$$L(s) = \frac{K}{s(s+2)}$$

โดยมีป้อนกลับลบแบบเอกภาพ สมการลักษณะเฉพาะของระบบวงปิดคือ

$$1 + \frac{K}{s(s+2)} = 0$$

คูณทั้งสมการด้วย $s(s+2)$:

$$s(s+2) + K = 0$$

จึงได้ว่า

$$s^2 + 2s + K = 0$$

ตอนนี้แก้หาโพลของระบบวงปิด:

$$s = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4K}}{2} = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

สูตรนี้แสดงพฤติกรรมหลักของรูทโลคัสได้แล้ว

เมื่อ $K = 0$ โพลอยู่ที่ $s = 0$ และ $s = -2$ ซึ่งก็คือโพลวงเปิด ดังนั้นจึงเป็นจุดเริ่มต้นของรูทโลคัส

เมื่อ $0 < K < 1$ โพลทั้งสองยังคงอยู่บนแกนจริง:

$$s = -1 \pm \sqrt{1-K}$$

เมื่อ $K$ เพิ่มขึ้น โพลทั้งสองจะเคลื่อนเข้าหากันตามแกนจริง

เมื่อ $K = 1$ โพลทั้งสองมาพบกันที่

$$s = -1$$

สำหรับ $K > 1$ ค่าภายในรากที่สองจะกลายเป็นจำนวนจินตภาพ ดังนั้นโพลจะกลายเป็นคู่เชิงซ้อนสังยุค:

$$s = -1 \pm i\sqrt{K-1}$$

ตอนนี้ส่วนจริงจะคงที่ที่ $-1$ และโพลจะเคลื่อนขึ้นลงในแนวดิ่ง

ดังนั้นเราจึงเห็นภาพทั้งหมดได้อย่างรวดเร็ว:

• แขนงเริ่มต้นที่ $0$ และ $-2$
• แขนงมาพบกันที่ $-1$
• หลังจากนั้นแขนงจะออกจากแกนจริงเป็นคู่เชิงซ้อน
• ไม่มีซีโร่จำกัด ดังนั้นแขนงจึงมุ่งสู่อินฟินิตี้

เนื่องจากส่วนจริงยังคงเป็นลบสำหรับทุกค่า $K > 0$ ระบบวงปิดตัวอย่างนี้จึงยังคงอยู่ในครึ่งระนาบซ้ายสำหรับเกนบวกทั้งหมด ข้อสรุปนี้ขึ้นอยู่กับตัวอย่างนี้โดยเฉพาะและอยู่ภายใต้กรณีแบบเวลาต่อเนื่อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยใน Root Locus

สับสนระหว่างโพลวงเปิดกับโพลวงปิด

รูทโลคัสได้มาจากสมการลักษณะเฉพาะของระบบวงปิด โพลและซีโร่วงเปิดใช้เป็นแนวทางในการสเก็ตช์กราฟ แต่ตัวรูทโลคัสเองแสดงว่าโพลวงปิดสามารถเคลื่อนที่ไปที่ใดได้บ้าง

ลืมเครื่องหมายของป้อนกลับ

รูปแบบมาตรฐานข้างต้นใช้ป้อนกลับลบ และมักใช้ $K \ge 0$ ถ้าเครื่องหมายของป้อนกลับหรือช่วงของเกนเปลี่ยนไป รูทโลคัสก็จะเปลี่ยนตาม

อ่านเสถียรภาพโดยไม่ระบุกรอบของระบบ

สำหรับระบบแบบเวลาต่อเนื่อง โพลในครึ่งระนาบซ้ายบ่งชี้เสถียรภาพเชิงอสมมาตร แต่ระบบแบบเวลาจำกัดใช้บริเวณเสถียรภาพคนละแบบ ดังนั้นกฎการมองภาพแบบเดียวกันจึงใช้ตรง ๆ ไม่ได้

มองกราฟนี้เหมือนกราฟการตอบสนองตามเวลา

รูทโลคัสบอกตำแหน่งของโพล มันไม่ได้บอกโอเวอร์ชูต เวลาตั้งตัว หรือขนาดการตอบสนองโดยตรง เว้นแต่คุณจะเชื่อมตำแหน่งโพลเข้ากับแบบจำลองและการประมาณที่เฉพาะเจาะจง

วิธี Root Locus ใช้เมื่อไร

รูทโลคัสใช้เมื่อคุณต้องการปรับเกนและทำความเข้าใจว่าการปรับนั้นทำให้ตำแหน่งโพลของระบบป้อนกลับเชิงเส้นเปลี่ยนไปอย่างไร

สิ่งนี้พบได้บ่อยในวิชาออกแบบระบบควบคุมเบื้องต้น โดยเฉพาะเมื่อคุณต้องการหาเกนที่ทำให้โพลอยู่ในบริเวณที่เสถียร หรือเลื่อนโพลไปสู่การตอบสนองที่เร็วขึ้นหรือช้าลง แม้ซอฟต์แวร์จะวาดกราฟให้คุณได้ แนวคิดนี้ก็ยังสำคัญ เพราะมันบอกว่ากราฟนั้นกำลังสื่ออะไรจริง ๆ

จะเริ่มโจทย์ Root Locus อย่างไร

ก่อนสเก็ตช์กราฟ ให้ตอบคำถามเหล่านี้ก่อน:

1. สมการลักษณะเฉพาะคืออะไร?
2. โพลและซีโร่วงเปิดอยู่ที่ไหน?
3. คุณกำลังใช้ระบบป้อนกลับลบมาตรฐานที่มี $K \ge 0$ อยู่หรือไม่?

ถ้าสามประเด็นนี้ยังไม่ชัดเจน กราฟก็จะถูกอ่านผิดได้ง่าย

ลองทำด้วยตัวเอง

ลองใช้กระบวนการเดียวกันกับ

$$L(s) = \frac{K}{s(s+1)}$$

เขียนสมการลักษณะเฉพาะของระบบวงปิด แก้หาโพล และติดตามว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อ $K$ เพิ่มขึ้น ถ้าคุณระบุได้ว่าแขนงทั้งสองเริ่มต้นที่ไหน และเมื่อใดที่มันเลิกเป็นจำนวนจริงล้วน แปลว่าคุณเข้าใจแนวคิดหลักของรูทโลคัสแล้ว