ฟังก์ชันถ่ายโอน

ฟังก์ชันถ่ายโอนคือกฎในโดเมนลาปลาซที่เชื่อมอินพุตของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลาเข้ากับเอาต์พุตของมัน เมื่อกำหนดให้เงื่อนไขต้นเป็นศูนย์ จะนิยามได้เป็น

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

โดยที่ $X(s)$ คืออินพุตหลังการแปลง และ $Y(s)$ คือเอาต์พุตหลังการแปลง พูดแบบง่าย ๆ มันบอกว่าระบบตอบสนองต่ออินพุตแบบต่าง ๆ แรงแค่ไหน โดยไม่ต้องกลับไปแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมดใหม่ทุกครั้ง

แต่นี่ไม่ได้หมายความว่าเป็นแค่ “เอาต์พุตหารด้วยอินพุต” ได้ในทุกกรณี นิยามนี้ใช้ได้เฉพาะภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง และเงื่อนไขเหล่านั้นสำคัญมาก

ฟังก์ชันถ่ายโอนบอกอะไรได้บ้าง

ฟังก์ชันถ่ายโอนรวบพฤติกรรมของระบบไว้ในนิพจน์เดียว เมื่อคุณรู้ $H(s)$ แล้ว คุณมักจะดูออกได้ว่าระบบขยาย ลด หน่วงเวลา หรือกรองบางส่วนของอินพุตอย่างไร

สำหรับโจทย์สภาวะคงตัวแบบไซน์ จะประเมินมันบนแกนจินตภาพเป็น $H(i\omega)$ ซึ่งให้ข้อมูลเชิงใช้งาน 2 อย่างคือ

• ขนาด (magnitude) ซึ่งบอกว่าอินพุตไซน์ที่มีความถี่เชิงมุม $\omega$ ถูกขยายหรือลดลงมากแค่ไหน
• เฟส (phase) ซึ่งบอกว่าเอาต์พุตเลื่อนจากอินพุตไปมากเท่าไร

นี่จึงเป็นเหตุผลที่ฟังก์ชันถ่ายโอนปรากฏอยู่ในวงจร การสั่นสะเทือน การกรองสัญญาณ และระบบควบคุม

เมื่อใดที่ $H(s) = Y(s)/X(s)$ ใช้ได้

สูตรมาตรฐานนี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่าระบบเป็นเชิงเส้นและไม่แปรตามเวลา ถ้าความเป็นเชิงเส้นใช้ไม่ได้ อินพุตจะไม่รวมกันตามหลักซูเปอร์โพสิชันแบบปกติ และถ้าระบบแปรตามเวลา ระบบอาจมีพฤติกรรมต่างกันในแต่ละเวลา ทำให้ฟังก์ชันถ่ายโอนตัวเดียวไม่เพียงพอ

เงื่อนไขต้นเป็นศูนย์ก็สำคัญเช่นกัน พลังงานที่สะสมอยู่ในตัวเก็บประจุ ตัวเหนี่ยวนำ หรือออสซิลเลเตอร์เชิงกล จะเปลี่ยนเอาต์พุตจริง แต่ส่วนเพิ่มนั้นไม่ใช่ส่วนหนึ่งของฟังก์ชันถ่ายโอนเอง ฟังก์ชันถ่ายโอนอธิบายกฎอินพุต-เอาต์พุตที่เป็นคุณสมบัติของระบบ ภายใต้การตั้งค่าเงื่อนไขต้นเป็นศูนย์ตามมาตรฐาน

ตัวอย่างคำนวณ: วงจรกรองความถี่ต่ำ RC

พิจารณาตัวต้านทาน $R$ ต่ออนุกรมกับตัวเก็บประจุ $C$ และวัดเอาต์พุตคร่อมตัวเก็บประจุ ในโดเมนลาปลาซ อิมพีแดนซ์ของตัวเก็บประจุคือ $1/(sC)$ ดังนั้นจากกฎตัวแบ่งแรงดันจะได้

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{\frac{1}{sC}}{R + \frac{1}{sC}} = \frac{1}{1 + sRC}$$

นี่คือฟังก์ชันถ่ายโอนแบบ low-pass ความถี่ต่ำผ่านได้ง่ายกว่าความถี่สูง จึงทำให้เอาต์พุตมีลักษณะเหมือนอินพุตที่ถูกทำให้เรียบขึ้น

ลองเลือกค่าจริงหนึ่งกรณี:

$$R = 1000\ \Omega, \qquad C = 1\ \mu\mathrm{F}$$

จะได้ว่า

$$RC = 10^{-3}\ \mathrm{s}$$

ดังนั้นฟังก์ชันถ่ายโอนจะเป็น

$$H(s) = \frac{1}{1 + 0.001s}$$

ความถี่เชิงมุมตัดคือ

$$\omega_c = \frac{1}{RC} = 1000\ \mathrm{rad/s}$$

ซึ่งสอดคล้องกับ

$$f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} \approx 159\ \mathrm{Hz}$$

ที่ความถี่ตัด

$$\left|H(i\omega_c)\right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

ดังนั้นแอมพลิจูดของเอาต์พุตจะมีค่าประมาณ $70.7\%$ ของแอมพลิจูดอินพุตที่ความถี่นี้ ตัวเลขเดียวนี้ก็บอกสิ่งที่มีประโยชน์ได้แล้วว่า วงจรเริ่มลดทอนสัญญาณอย่างเห็นได้ชัดที่บริเวณ $159\ \mathrm{Hz}$ และสูงกว่านั้น

เพื่อตรวจสอบความเข้าใจอย่างรวดเร็ว ถ้า $\omega \ll 1000\ \mathrm{rad/s}$ จะได้ว่า $|H(i\omega)|$ ใกล้กับ $1$ ดังนั้นเอาต์พุตจึงมีขนาดเกือบเท่ากับอินพุต แต่ถ้า $\omega \gg 1000\ \mathrm{rad/s}$ ขนาดจะเล็กลง ทำให้การสั่นที่เร็วถูกลดทอนอย่างมาก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยเกี่ยวกับฟังก์ชันถ่ายโอน

• ใช้คำนี้กับระบบที่ไม่ได้จำลองเป็นระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา
• ลืมกำหนดให้ชัดว่าอะไรคืออินพุตและอะไรคือเอาต์พุต
• มองว่าฟังก์ชันถ่ายโอนรวมเงื่อนไขต้นแบบใดก็ได้ไว้แล้ว
• สับสนระหว่างฟังก์ชันถ่ายโอนในโดเมนลาปลาซ $H(s)$ กับการตอบสนองความถี่ $H(i\omega)$
• ดูเฉพาะขนาดแล้วละเลยการเลื่อนเฟส ทั้งที่เฟสมีความสำคัญทางกายภาพ

ฟังก์ชันถ่ายโอนถูกใช้ที่ไหน

ฟังก์ชันถ่ายโอนมีประโยชน์ทุกครั้งที่ระบบสามารถจำลองได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น และคุณสนใจว่าอินพุตส่งผลไปยังเอาต์พุตอย่างไร ตัวอย่างที่พบบ่อยได้แก่ วงจร RC และ RLC ออสซิลเลเตอร์เชิงกลแบบมีแดมป์ ระบบป้อนกลับ และแบบจำลองเซนเซอร์อย่างง่าย

ในฟิสิกส์ ฟังก์ชันถ่ายโอนมีประโยชน์เป็นพิเศษเมื่อคำถามหลักไม่ใช่ประวัติตามเวลาทั้งหมด แต่เป็นการที่ระบบตอบสนองต่อการขับ การกรอง หรือการสั่นในย่านความถี่ต่าง ๆ

ลองทำฟังก์ชันถ่ายโอนที่คล้ายกัน

ลองใช้วงจร RC เดิม แต่เปลี่ยนไปวัดเอาต์พุตคร่อมตัวต้านทานแทน คุณจะได้ฟังก์ชันถ่ายโอนแบบ high-pass และการเปรียบเทียบนี้ช่วยตอกย้ำแนวคิดสำคัญข้อหนึ่ง: เมื่อเปลี่ยนเอาต์พุต ฟังก์ชันถ่ายโอนก็เปลี่ยนตาม