Fórmula da Deflexão de Vigas

Uma fórmula de deflexão de vigas informa quanto uma viga se curva sob carga. Se você procurou pela fórmula da deflexão de vigas, o ponto principal é este: não existe uma única fórmula para toda viga. A expressão correta depende da condição de apoio, do tipo de carregamento e da rigidez à flexão $E I$.

Um dos casos mais comuns é o de uma viga em balanço com uma carga pontual na extremidade livre:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Essa fórmula só é útil quando esse caso exato de viga e as hipóteses usuais de pequena deflexão e elasticidade linear são razoáveis.

Do que depende a deflexão de uma viga

A ideia física é simples. As cargas criam momentos fletores, e a viga resiste a essa flexão por meio de $E I$.

• $E$ é o módulo de Young, então ele indica quão rígido é o material em si.
• $I$ é o segundo momento de área, então ele indica como a seção transversal resiste à flexão em torno de um eixo escolhido.
• $E I$ é chamado de rigidez à flexão.

Para uma viga de Euler-Bernoulli com pequenas inclinações, a curvatura se relaciona com o momento fletor por

$$\kappa(x) = \frac{M(x)}{E I}$$

até convenção de sinal. É por isso que as fórmulas de deflexão de vigas seguem o mesmo padrão: momentos maiores produzem mais flexão, enquanto valores maiores de $E I$ a reduzem.

Uma fórmula comum de deflexão de vigas: balanço com carga na extremidade

Para uma viga em balanço de comprimento $L$ com uma carga pontual $P$ na extremidade livre, a deflexão máxima ocorre na ponta e tem magnitude

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Aqui,

• $P$ é a carga aplicada
• $L$ é o comprimento da viga
• $E$ é o módulo de Young
• $I$ é o segundo momento de área

Use esta fórmula somente se estas condições corresponderem ao problema:

• a viga está engastada em uma extremidade e livre na outra
• a carga atua na extremidade livre
• o material permanece na faixa elástica linear
• as deflexões e inclinações são pequenas o suficiente para que a teoria de vigas seja uma boa aproximação
• a viga é esbelta o suficiente para que a teoria de Euler-Bernoulli seja razoável
• a deformação por cisalhamento é desprezada

O termo $L^3$ é a parte que vale notar. Se todo o resto permanecer igual e o comprimento dobrar, a deflexão na ponta se torna $2^3 = 8$ vezes maior.

Exemplo resolvido com números

Suponha que uma viga em balanço tenha

• $P = 120\ \mathrm{N}$
• $L = 1.5\ \mathrm{m}$
• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 4.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$

Use a fórmula da carga na ponta para viga em balanço:

$$\delta_{max} = \frac{P L^3}{3 E I}$$

Substitua os valores e mantenha unidades SI em todo o cálculo:

$$\delta_{max} = \frac{120(1.5)^3}{3(200 \times 10^9)(4.0 \times 10^{-6})}$$

Como $(1.5)^3 = 3.375$, isso se torna

$$\delta_{max} = \frac{405}{2.4 \times 10^6}\ \mathrm{m}$$ $$\delta_{max} \approx 1.69 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}$$

Então a deflexão na ponta é

$$0.000169\ \mathrm{m} = 0.169\ \mathrm{mm}$$

Isso é muito pequeno em comparação com um vão de $1.5\ \mathrm{m}$, então a hipótese de pequena deflexão é pelo menos plausível neste exemplo.

Erros comuns com fórmulas de deflexão de vigas

Tratar uma fórmula como universal

A fórmula da carga na ponta para viga em balanço não se aplica a uma viga biapoiada, a uma carga uniformemente distribuída ou a uma viga com outra condição de apoio. A expressão correta muda conforme a configuração.

Confundir $I$

Aqui, $I$ significa o segundo momento de área da seção transversal. Não é corrente elétrica, nem é o momento de inércia de massa.

Ignorar unidades

As fórmulas de vigas são muito sensíveis às unidades porque $I$ frequentemente tem unidades de $\mathrm{m^4}$ ou $\mathrm{mm^4}$. Um erro de unidades pode alterar a resposta por um fator de milhões.

Usar a fórmula fora de suas hipóteses

Se as deflexões forem grandes, o material entrar em escoamento, a viga não for esbelta ou $E I$ variar ao longo do vão, uma fórmula simples de livro-texto pode deixar de ser confiável.

Quando a fórmula da deflexão de vigas é usada

As fórmulas de deflexão de vigas são usadas quando você precisa avaliar rigidez, não apenas resistência. Uma viga pode ser resistente o bastante para não quebrar e ainda assim deformar demais para a aplicação.

Isso importa em estruturas, componentes de máquinas, dispositivos de laboratório, prateleiras e elementos longos em que alinhamento ou capacidade de serviço são importantes. Na prática, engenheiros costumam verificar tanto a tensão quanto a deflexão, porque esses são limites de projeto diferentes.

Tente um problema parecido

Mantenha o mesmo exemplo da viga em balanço e dobre apenas o comprimento $L$. Preveja a nova deflexão na ponta a partir do termo $L^3$ antes de calcular. Depois tente uma condição de apoio ou tipo de carga diferente e compare quais partes da fórmula mudam.