Torção — Tensão de Cisalhamento em Eixos

A fórmula da torção fornece a tensão de cisalhamento dentro de um eixo circular submetido a torque. Para um eixo circular em torção elástica linear, a tensão no raio $r$ é

$$\tau = \frac{Tr}{J}$$

Aqui, $T$ é o torque aplicado e $J$ é o momento polar de área. Nessas condições, a tensão de cisalhamento é zero no centro e máxima na superfície externa.

Para a tensão de cisalhamento máxima, faça $r = R$:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$

Esse resultado é usado para eixos circulares maciços e vazados quando o modelo de torção para eixo circular representa bem o problema.

Quando A Fórmula Da Torção Se Aplica

Use $\tau = Tr/J$ quando o elemento puder ser modelado como um eixo circular em torção elástica. Se a seção transversal não for circular, essa distribuição de tensões geralmente não vale.

Essa condição é importante. A fórmula não é uma regra universal para toda peça submetida à torção.

O Que Significam $T$, $r$, $R$ e $J$

• $T$: torque aplicado
• $r$: distância do centro do eixo até o ponto de interesse
• $R$: raio externo do eixo
• $J$: momento polar de área da seção transversal

Para eixos circulares comuns:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} \quad \text{para um eixo circular maciço}$$ $$J = \frac{\pi \left(R_o^4 - R_i^4\right)}{2} \quad \text{para um eixo circular vazado}$$

Por Que A Tensão Aumenta Longe Do Centro

Um eixo em torção não sofre cisalhamento igual em todos os pontos. O material mais distante do centro precisa percorrer um caminho circular maior quando o eixo gira, então o efeito de cisalhamento cresce com o raio.

É por isso que a fórmula é proporcional a $r$. A linha central tem $r = 0$, então a tensão de cisalhamento ali é zero. A superfície externa tem o maior $r$, então suporta a maior tensão de cisalhamento.

Exemplo Resolvido: Tensão De Cisalhamento Máxima Em Um Eixo Maciço

Suponha que um eixo circular maciço tenha raio $R = 0.020\ \mathrm{m}$ e esteja submetido a um torque de $T = 120\ \mathrm{N \cdot m}$. Determine a tensão de cisalhamento máxima.

Primeiro, calcule o momento polar de área:

$$J = \frac{\pi R^4}{2} = \frac{\pi (0.020)^4}{2} \approx 2.51 \times 10^{-7}\ \mathrm{m^4}$$

Agora use a forma da tensão máxima:

$$\tau_{\max} = \frac{TR}{J}$$ $$\tau_{\max} = \frac{(120)(0.020)}{2.51 \times 10^{-7}} \approx 9.55 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$$

Portanto, a tensão de cisalhamento máxima é

$$\tau_{\max} \approx 9.6\ \mathrm{MPa}$$

Este exemplo mostra claramente o padrão principal. Para o mesmo tipo de eixo, um torque maior aumenta a tensão, enquanto um momento polar $J$ maior a reduz.

Erros Comuns Na Fórmula Da Torção

Usar A Fórmula Para A Seção Transversal Errada

$\tau = Tr/J$ é o resultado padrão da torção elástica para eixos circulares. Se a seção não for circular, ou se o material estiver fora da faixa elástica assumida, essa fórmula pode não descrever corretamente a tensão real.

Confundir $J$ Com $I$

$J$ é o momento de área polar, não o momento de inércia de área $I$ usado na flexão comum de vigas. Trocar um pelo outro leva a uma resposta errada.

Esquecer Que A Tensão Depende Do Raio

A tensão não é uniforme ao longo da seção do eixo. Ela varia com $r$, então o valor no centro não é o mesmo valor na superfície.

Perder A Consistência Das Unidades

Se o torque estiver em $\mathrm{N \cdot m}$, o raio em $\mathrm{m}$ e $J$ em $\mathrm{m^4}$, então a tensão sai em $\mathrm{Pa}$. Misturar milímetros e metros é uma fonte comum de erro.

Onde Você Usa A Fórmula Da Torção

A fórmula da torção é usada quando engenheiros e estudantes de física precisam estimar a tensão de cisalhamento em eixos rotativos, semieixos, hastes de perfuração, acoplamentos de motores e peças semelhantes que transmitem torque.

Na prática, ela ajuda a responder uma pergunta simples de projeto: a geometria do eixo é grande o suficiente para transmitir o torque sem ultrapassar uma tensão de cisalhamento aceitável?

Tente Um Problema Semelhante

Mantenha o mesmo eixo, mas dobre o torque. Como $\tau$ é proporcional a $T$, a tensão de cisalhamento máxima também dobra.

Se quiser testar sua própria versão com um raio diferente ou com um eixo vazado, resolva um problema semelhante de torção no GPAI Solver.