Séries de Taylor vs. Maclaurin

A diferença entre séries de Taylor e de Maclaurin se resume a um fato: uma série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em $0$. Se o centro é $a = 0$, ela é de Maclaurin. Se o centro é qualquer outro valor, ela é uma série de Taylor.

Isso parece só uma pequena mudança de nome, mas o centro importa porque uma série costuma ser mais útil perto do ponto em que foi construída.

A Diferença Em Uma Fórmula

Se uma função tem derivadas suficientes em $a$, sua série de Taylor em torno de $a$ é

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Fazendo $a = 0$, você obtém a série de Maclaurin:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Portanto, a estrutura não muda. O que muda é o centro.

Por Que O Centro Importa

Os coeficientes vêm das derivadas avaliadas no centro. Mude o centro, e os números da série geralmente também mudam.

Uma série de Maclaurin é construída para descrever a função perto de $x = 0$. Uma série de Taylor em torno de $a = 2$ é construída para descrever a mesma função perto de $x = 2$. As duas podem estar corretas, mas uma pode ser muito mais prática para o valor que você quer estudar.

Você também deve evitar uma afirmação mais forte do que o problema permite. Uma série de Taylor ou de Maclaurin é sempre pensada como uma expansão local. Se ela realmente é igual à função em um intervalo depende da função e de onde a série converge.

Exemplo Resolvido: $e^x$ Em Dois Centros Diferentes

Considere

$$f(x) = e^x$$

Esse é um bom exemplo de comparação porque toda derivada de $e^x$ continua sendo $e^x$.

Série de Maclaurin em $a = 0$

Em $a = 0$, todo valor de derivada é $f^{(n)}(0) = 1$, então

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Os primeiros termos são

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Série de Taylor em $a = 1$

Agora centre a mesma função em $a = 1$. Então todo valor de derivada no centro é $f^{(n)}(1) = e$, logo

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

Os primeiros termos são

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

A função continuou a mesma. Só o centro mudou. Essa é toda a diferença entre séries de Taylor e de Maclaurin em um único exemplo.

Quando Usar Maclaurin Ou Taylor

Use uma série de Maclaurin quando $0$ for o ponto de referência natural ou quando as derivadas em $0$ forem fáceis de calcular.

Use uma série de Taylor em torno de outro valor $a$ quando você precisar de uma boa aproximação local perto desse valor. Por exemplo, se quiser estimar o comportamento perto de $x = 3$, expandir em torno de $a = 3$ costuma ser melhor do que expandir em torno de $0$.

Erros Comuns Que Os Estudantes Cometem

Tratar como ideias diferentes

Não são teorias diferentes. Maclaurin é um caso particular de Taylor.

Ignorar o centro

Duas séries para a mesma função podem ser válidas, mas a que está centrada perto do valor de interesse costuma ser a aproximação mais útil.

Supor que a série sempre é igual à função

Isso não é automático. A resposta depende da função e do intervalo. A afirmação segura é que a série fornece uma expansão local em torno do seu centro, e depois você verifica a convergência se o problema pedir mais do que isso.

Onde Isso Aparece No Cálculo

As séries de Taylor e de Maclaurin aparecem quando você aproxima funções, estuda comportamento local, resolve equações diferenciais ou substitui uma expressão complicada por um polinômio mais fácil de trabalhar.

A pergunta que sempre volta é simples: qual ponto torna o modelo local mais útil?

Tente Um Problema Parecido

Escreva a série de $\sin x$ duas vezes: uma em $a = 0$ e outra em $a = \pi/4$. Comparar essas duas expansões é uma das formas mais rápidas de fixar a diferença.