Expansão de Taylor

Uma expansão de Taylor é uma aproximação polinomial de uma função perto de um ponto escolhido. Ela usa as derivadas da função nesse ponto, de modo que coincide com o valor, a inclinação e, às vezes, com comportamentos de ordem superior ali. Em geral, a aproximação só é útil perto do centro.

Se $f$ tiver derivadas suficientes perto de $x=a$, o polinômio de Taylor em torno de $a$ é construído seguindo este padrão:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

Parar após um número finito de termos dá um polinômio de Taylor. Deixar o padrão continuar para sempre dá uma série de Taylor. Essas ideias são muito relacionadas, mas não são o mesmo objeto.

O que a expansão de Taylor iguala no centro

Cada termo é escolhido para que o polinômio coincida com a função em $x=a$.

• $f(a)$ coincide com o valor da função.
• $f'(a)$ coincide com a inclinação.
• $f''(a)$ ajuda a coincidir com a curvatura.

Por isso, a expansão de Taylor é mais do que uma fórmula decorada. Ela é um polinômio projetado para imitar a função localmente.

Quando uma aproximação de Taylor funciona bem

A expansão de Taylor é mais útil quando três condições acontecem ao mesmo tempo:

1. A função tem as derivadas necessárias no centro.
2. Você só precisa de valores de $x$ perto desse centro.
3. Um polinômio é mais fácil de calcular ou analisar do que a função original.

Na prática, a segunda condição é a mais importante. Mesmo para funções conhecidas como $e^x$, $\sin x$ e $\cos x$, um polinômio de Taylor de baixo grau costuma ser muito melhor perto do centro do que longe dele.

Exemplo resolvido: aproximar $e^{0.2}$

Use uma expansão de Maclaurin, o que significa que o centro é $a=0$.

Para $f(x)=e^x$, toda derivada continua sendo $e^x$. Em $x=0$:

$$f(0) = 1, \quad f'(0) = 1, \quad f''(0) = 1$$

Então o polinômio de Taylor de segundo grau é

$$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

Agora substitua $x=0.2$:

$$e^{0.2} \approx 1 + 0.2 + \frac{(0.2)^2}{2}$$ $$= 1 + 0.2 + \frac{0.04}{2} = 1.22$$

O valor real é aproximadamente $1.2214$, então a aproximação já é boa.

Por que isso funciona? Porque $0.2$ está perto do centro $0$. O mesmo polinômio curto normalmente seria menos preciso muito mais longe.

Expansão de Maclaurin é o caso $a=0$

Quando o centro é $a=0$, a expansão de Taylor fica

$$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$

Esse caso especial é chamado de expansão de Maclaurin. Ele aparece com frequência porque muitas funções são fáceis de derivar e avaliar em $0$.

Erros comuns na expansão de Taylor

Confundir um polinômio com uma série

Uma expansão de Taylor finita é uma aproximação polinomial. A série de Taylor infinita é um objeto diferente. As pessoas muitas vezes misturam os termos, mas a distinção importa quando se fala em convergência.

Usar a aproximação longe demais do centro

A expansão é construída em torno de $a$. Se $x$ estiver longe de $a$, uma aproximação de baixo grau pode deixar de ser confiável.

Esquecer o fatorial

O coeficiente de $(x-a)^n$ é $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, e não apenas $f^{(n)}(a)$. Esquecer o fatorial altera todos os termos de ordem superior.

Supor que toda função suave é igual à sua série de Taylor

Ter derivadas, por si só, não basta para garantir que a série de Taylor completa seja igual à função em todos os pontos próximos. Uma expansão finita deve ser tratada como aproximação, a menos que o problema forneça um resultado mais forte.

Onde a expansão de Taylor é usada

Os estudantes normalmente encontram a expansão de Taylor quando precisam:

1. Estimar o valor de uma função com um polinômio curto.
2. Simplificar uma expressão complicada perto de um ponto de equilíbrio.
3. Estudar o comportamento local em cálculo, equações diferenciais ou física.
4. Comparar o quanto a precisão melhora quando mais termos são adicionados.

Tente um problema parecido

Monte a expansão de Taylor de segundo grau de $\sin x$ em $a=0$ e depois use-a para aproximar $\sin(0.1)$. Se quiser um próximo passo útil, compare essa aproximação finita com uma série de Taylor.