Triplas Pitagóricas — Triplas Comuns e Como Encontrá-las

Uma tripla pitagórica é um conjunto de três inteiros positivos $(a,b,c)$ que satisfazem $a^2 + b^2 = c^2$. Em linguagem simples, os três números são comprimentos inteiros dos lados de um triângulo retângulo, e $c$ é a hipotenusa. O exemplo clássico é $(3,4,5)$ porque $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Use essa ideia apenas quando os três valores forem inteiros positivos. Muitos triângulos retângulos satisfazem o teorema de Pitágoras, mas só alguns têm lados com comprimentos inteiros.

Triplas Pitagóricas Comuns para Conhecer

Essas aparecem com frequência suficiente para valer a pena reconhecê-las de imediato:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

Seus múltiplos também funcionam. Por exemplo, dobrar $(3,4,5)$ dá $(6,8,10)$, e

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

É por isso que muitas triplas não primitivas são apenas cópias ampliadas de triplas menores.

O Que Torna uma Tripla Primitiva

Uma tripla pitagórica primitiva não tem fator comum maior que $1$. Por exemplo, $(3,4,5)$ é primitiva, mas $(6,8,10)$ não é, porque os três números são divisíveis por $2$.

Isso importa porque toda tripla não primitiva vem da multiplicação de uma tripla primitiva. Se você entende as triplas primitivas, entende também a família maior.

Como Encontrar Triplas Pitagóricas

Há duas maneiras práticas de obter novas triplas.

Multiplique uma Tripla que Você Já Conhece

Se $(a,b,c)$ é uma tripla pitagórica e $k$ é um inteiro positivo, então $(ka,kb,kc)$ também é uma tripla pitagórica, porque

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

Essa é a forma mais rápida de construir exemplos como $(9,12,15)$ ou $(10,24,26)$.

Use a Fórmula de Euclides

Se $m$ e $n$ são inteiros com $m > n > 0$, então

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

gera uma tripla pitagórica.

Se você quiser uma tripla primitiva, ou seja, em que os três números não tenham fator comum maior que $1$, também precisa que $m$ e $n$ sejam coprimos e não sejam ambos ímpares.

Exemplo Resolvido: Gerando uma Tripla

Tome $m = 4$ e $n = 1$. Como $m > n > 0$, a fórmula de Euclides se aplica.

Então

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

Logo, $(8,15,17)$ é uma tripla pitagórica.

Você pode verificar isso diretamente:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

Agora multiplique por $2$ e você obtém $(16,30,34)$. A forma do triângulo retângulo continua a mesma, mas os comprimentos dos lados dobram.

Este exemplo mostra as duas ideias principais ao mesmo tempo: a fórmula de Euclides cria uma tripla, e a multiplicação cria mais.

Erros Comuns com Triplas Pitagóricas

Esquecer a Condição de Números Inteiros

A equação $a^2+b^2=c^2$ tem muitas soluções em números reais, mas uma tripla pitagórica exige que os três valores sejam inteiros positivos.

Chamar Toda Tripla Válida de Primitiva

$(6,8,10)$ é uma tripla válida, mas não é primitiva porque os três números têm um fator comum igual a $2$.

Confundir "Tripla" com "Tripla Primitiva"

Uma tripla só precisa satisfazer $a^2+b^2=c^2$ com inteiros positivos. As condições extras sobre $m$ e $n$ importam apenas se você quiser que a tripla seja primitiva.

Colocar o Maior Número no Lugar Errado

Em uma tripla $(a,b,c)$, $c$ é a hipotenusa, então deve ser o maior número.

Quando as Triplas Pitagóricas São Úteis

Elas aparecem na geometria de triângulos retângulos, na geometria analítica e na teoria dos números introdutória. Também são úteis quando você quer verificar rapidamente se três números inteiros podem formar um triângulo retângulo.

Em matemática baseada em demonstrações, elas são um exemplo padrão de equação diofantina: uma equação em que você procura soluções inteiras em vez de todas as soluções reais.

Tente um Problema Parecido

Use $m = 5$ e $n = 2$ na fórmula de Euclides e depois verifique o resultado em $a^2 + b^2 = c^2$. Se quiser ir um passo além, explore o Teorema de Pitágoras para ver como a mesma relação é usada para encontrar comprimentos de lados desconhecidos.