Razão — Simplificação, Comparação e Problemas

Uma razão compara duas quantidades em uma ordem fixa. Se uma turma tem $12$ meninas e $8$ meninos, a razão de meninas para meninos é $12:8$, que simplifica para $3:2$.

Isso não significa que existam apenas $3$ meninas e $2$ meninos. Significa que a comparação é equivalente: para cada $3$ meninas, há $2$ meninos.

O Que Uma Razão Significa Em Matemática

Uma razão mostra como uma quantidade se relaciona com outra. Você pode escrevê-la como $a:b$, lê-la como "a para b" ou escrevê-la como $\frac{a}{b}$ quando estiver tratando a comparação como um quociente e $b \neq 0$.

A ordem importa. A razão $3:2$ não é a mesma que $2:3$, porque o primeiro número sempre se refere à primeira quantidade mencionada.

As razões funcionam melhor quando as duas quantidades medem o mesmo tipo de coisa, ou quando você as converte primeiro para a mesma unidade. Para comparar $2$ metros e $50$ centímetros, converta antes:

$$2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$$

Então a razão é

$$200:50 = 4:1$$

Como Simplificar Razões

Para simplificar uma razão, divida as duas partes pelo mesmo fator comum. Isso é parecido com simplificar uma fração, mas você mantém a forma de razão.

Por exemplo:

$$12:8 = 3:2$$

porque as duas partes são divisíveis por $4$:

$$12 \div 4 = 3, \qquad 8 \div 4 = 2$$

A razão simplificada mantém a mesma comparação. Ela fica mais fácil de ler, mas não altera a relação.

Se os dois números não tiverem nenhum fator comum maior que $1$, a razão já está na forma mais simples.

Exemplo de Razão: Resolvendo Um Problema

Suponha que uma mistura de tinta use vermelho e azul na razão $2:3$. Se você usar $10$ xícaras de tinta vermelha, de quantas xícaras de tinta azul você precisa?

A razão diz que há $2$ partes de vermelho para cada $3$ partes de azul.

Se o vermelho passa de $2$ partes para $10$ xícaras, o fator de escala é $5$, porque

$$2 \times 5 = 10$$

Use o mesmo fator no azul:

$$3 \times 5 = 15$$

Então você precisa de $15$ xícaras de tinta azul.

A ideia principal é que as duas partes devem ser escaladas pelo mesmo fator. É isso que mantém a razão $2:3$ inalterada.

Como Problemas com Razões Geralmente Funcionam

A maioria dos problemas com razões pede que você faça uma de três coisas:

• simplificar uma comparação
• aumentar ou reduzir uma comparação em escala
• encontrar uma quantidade desconhecida quando a razão é conhecida

Em cada caso, a lógica é a mesma: mantenha a ordem fixa e preserve a comparação.

Uma armadilha comum é confundir comparações parte-parte com comparações parte-todo. Se meninos:meninas = $2:3$, então o número total de partes é $5$, então os meninos são $\frac{2}{5}$ da turma, e não $\frac{2}{3}$.

Erros Comuns com Razões

Inverter a Ordem

Se a questão pede gatos:cachorros e você escreve cachorros:gatos, os números podem estar corretos, mas a razão ainda estará errada.

Esquecer de Igualar as Unidades

Comparar $1$ hora com $30$ minutos como $1:30$ está incorreto, porque as unidades são diferentes. Converta antes:

$$1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes}$$

então a razão é

$$60:30 = 2:1$$

Tratar Uma Razão Como Diferença

$5:2$ não significa que a primeira quantidade seja sempre "$3$ a mais" da forma que o problema considera. Uma razão é uma comparação multiplicativa, não apenas uma diferença.

Simplificar Apenas Uma Parte

Se você altera um lado de uma razão, precisa alterar o outro lado pelo mesmo fator. Caso contrário, a comparação muda.

Quando as Razões São Usadas

As razões aparecem em receitas, mapas, desenhos em escala, misturas, comparações em sala de aula e muitos problemas de álgebra sobre relações equivalentes.

Elas são especialmente úteis quando a pergunta real é "quanto em comparação com quanto?" em vez de "quanto no total?"

Tente Um Problema de Razão Parecido

Uma mistura de lanche usa castanhas e uvas-passas na razão $4:1$. Se você tem $20$ xícaras de castanhas, quantas xícaras de uvas-passas mantêm a mesma mistura?

Depois escreva a razão de uvas-passas para castanhas e verifique se você inverteu a ordem corretamente. Se quiser ir um passo além, mude as castanhas para $12$ xícaras e resolva de novo sem olhar o exemplo.