Valor absoluto — definição e propriedades

Valor absoluto significa a distância até $0$ na reta numérica. Para números reais, isso faz com que $|x|$ seja sempre não negativo.

É por isso que $|5| = 5$ e $|-5| = 5$. Os números estão em lados opostos de $0$, mas estão à mesma distância dele.

Definição de Valor Absoluto

Para um número real $x$,

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Isso não significa que o valor absoluto "transforma tudo em positivo". Ele mantém os números não negativos como estão e troca o sinal dos números negativos.

Pense Nisso Como Distância

O melhor modelo mental é distância. Se você lê $|x|$, pense em "a distância de $x$ até $0$".

A mesma ideia explica expressões como $|a-b|$. Isso é a distância entre $a$ e $b$ na reta numérica.

Por exemplo,

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

então a distância entre $2$ e $7$ é $5$.

Propriedades Principais do Valor Absoluto

Estas são as propriedades que você vai usar com mais frequência:

1. $|x| \ge 0$ para todo número real $x$.
2. $|x| = 0$ somente quando $x = 0$.
3. $|-x| = |x|$.
4. $|ab| = |a||b|$ para números reais $a$ e $b$.
5. Se $b \ne 0$, então $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$.

A condição $b \ne 0$ é importante na última propriedade porque divisão por $0$ não é definida.

Exemplo Resolvido: Resolva $|x - 3| = 5$

Essa equação pede os números cuja distância até $3$ é $5$.

Se um número está $5$ unidades à direita de $3$, então

$$x - 3 = 5$$

logo

$$x = 8$$

Se um número está $5$ unidades à esquerda de $3$, então

$$x - 3 = -5$$

logo

$$x = -2$$

Então, as soluções são

$$x = 8 \quad \text{ou} \quad x = -2$$

Essa ideia de dois casos é o principal padrão para lembrar. Se $|u| = k$ e $k > 0$, resolva tanto $u = k$ quanto $u = -k$.

Erros Comuns com Valor Absoluto

Um erro comum é pensar que $|x|$ pode ser negativo. Não pode. Para números reais, o valor absoluto é sempre pelo menos $0$.

Outro erro comum é resolver apenas um caso. No exemplo acima, parar em $x = 8$ faz você perder o segundo ponto que também está a $5$ unidades de $3$.

Os estudantes também confundem $|-x|$ com $-|x|$. Eles não são a mesma coisa. Na verdade, $|-x| = |x|$, mas $-|x|$ é zero ou negativo.

Quando o Valor Absoluto É Usado

O valor absoluto aparece sempre que o tamanho importa mais do que a direção.

Você o vê na distância na reta numérica, no erro ou desvio em relação a um alvo, em equações e inequações, e em fórmulas nas quais só a magnitude deve permanecer. Em matemática mais avançada, ele também aparece em geometria analítica, cálculo e números complexos, embora o significado exato dependa do contexto.

Verificação Rápida para Equações do Tipo $|u| = k$

Se você vir uma equação como $|u| = k$, verifique primeiro o lado direito.

Se $k < 0$, não há solução real porque um valor absoluto não pode ser igual a um número negativo. Se $k = 0$, então a expressão dentro do valor absoluto deve ser $0$. Se $k > 0$, espere dois casos, a menos que ambos levem ao mesmo valor.

Tente um Problema Parecido de Valor Absoluto

Tente resolver $|x + 4| = 9$. Leia isso como "a distância até $-4$ é $9$", depois escreva os dois casos correspondentes. Se quiser conferir depois de resolver, substitua as duas respostas na equação original.