Współrzędne biegunowe — zamiana, wykresy i równania

Współrzędne biegunowe opisują punkt za pomocą odległości i kąta zamiast położenia poziomego i pionowego. Punkt $(r,\theta)$ oznacza: „przesuń się o $r$ jednostek od początku układu pod kątem $\theta$ liczonym od dodatniej osi $x$”. Są najbardziej przydatne wtedy, gdy wykres lub zadanie naturalnie zależy od odległości od początku układu albo od obrotu wokół niego.

Aby zamieniać współrzędne biegunowe i kartezjańskie, użyj

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

oraz

$$r^2 = x^2 + y^2$$

Jeśli potrzebujesz wyznaczyć kąt na podstawie punktu kartezjańskiego, uwzględnij ćwiartkę oraz zależność $\tan\theta = \frac{y}{x}$, gdy $x \ne 0$. Ten warunek ma znaczenie: ta sama wartość tangensa występuje w więcej niż jednej ćwiartce.

Co oznacza $(r,\theta)$

We współrzędnych kartezjańskich $(3,4)$ oznacza przesunięcie o $3$ jednostki wzdłuż osi $x$ i o $4$ jednostki wzdłuż osi $y$. We współrzędnych biegunowych $(5,\theta)$ oznacza przesunięcie o $5$ jednostek od początku układu i obrót o kąt $\theta$.

To podejście lepiej pasuje do okręgów, spiral i ruchu wokół środka. Wyjaśnia też, dlaczego współrzędne biegunowe nie są jednoznaczne: $(r,\theta)$ i $(r,\theta + 2\pi)$ oznaczają ten sam punkt, a $(r,\theta)$ i $(-r,\theta + \pi)$ również oznaczają ten sam punkt.

Jak zamieniać współrzędne biegunowe i kartezjańskie

Aby przejść z biegunowych do kartezjańskich, podstaw $r$ i $\theta$ do wzorów

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta$$

Aby przejść z kartezjańskich do biegunowych, najpierw oblicz odległość:

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Następnie wybierz kąt $\theta$, który wskazuje właściwą ćwiartkę. Na przykład punkt $(-3,3)$ ma $\tan\theta = -1$, ale poprawny kąt leży w II ćwiartce, więc $\theta = \frac{3\pi}{4}$, a nie $-\frac{\pi}{4}$.

Jest jeden szczególny przypadek: w początku układu $r = 0$ i kąt nie jest jednoznaczny. Każdy kąt prowadzi do tego samego punktu.

Jak rysować wykres równania biegunowego

Równanie biegunowe mówi, jak zmienia się $r$ wraz ze zmianą $\theta$. To różni się od równania kartezjańskiego, które zwykle wiąże bezpośrednio $y$ i $x$.

Dlatego równania takie jak $r = 2$, $r = 1 + \cos\theta$ i $r = \theta$ są naturalne w postaci biegunowej. Opisują odległość od początku układu w zależności od zmieniającego się kąta.

Przykład: zamień $r = 2\cos\theta$ na postać kartezjańską

Ten przykład pokazuje, że równanie biegunowe może ukrywać dobrze znany wykres. Zacznij od

$$r = 2\cos\theta$$

Pomnóż obie strony przez $r$:

$$r^2 = 2r\cos\theta$$

Teraz użyj $r^2 = x^2 + y^2$ oraz $r\cos\theta = x$:

$$x^2 + y^2 = 2x$$

Uzupełnij do kwadratu:

$$x^2 - 2x + y^2 = 0$$ $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$

Zatem wykresem jest okrąg o środku w punkcie $(1,0)$ i promieniu $1$.

To wyjaśnia też kształt wykresu. Dla $\theta$ bliskiego $0$ wartość $\cos\theta$ jest dodatnia i największa, więc krzywa rozciąga się w prawo. Gdy $\cos\theta$ jest ujemny, $r$ staje się ujemne, co obraca punkt o $\pi$ i nadal rysuje ten sam okrąg.

Typowe błędy we współrzędnych biegunowych

Jednym z częstych błędów jest założenie, że każdy punkt ma tylko jedną postać biegunową. Tak nie jest, więc dwie odpowiedzi mogą wyglądać różnie, a mimo to opisywać ten sam punkt.

Inny błąd to używanie $\theta = \tan^{-1}(y/x)$ bez sprawdzenia ćwiartki. To może dać zły kierunek nawet wtedy, gdy $r$ jest poprawne.

Uczniowie często mylą też radiany i stopnie. Wykres zależy od tego, której jednostki używa zadanie, więc trzeba zachować konsekwencję.

Ostatni błąd to zapominanie, co oznacza ujemne $r$. Nie znaczy to „niepoprawne”. Oznacza to ruch w kierunku przeciwnym do podanego kąta. W początku układu pojawia się odwrotny problem: uczniowie próbują wymusić jeden kąt, chociaż nie jest tam potrzebny żaden pojedynczy kąt.

Kiedy współrzędne biegunowe są przydatne

Współrzędne biegunowe są szczególnie przydatne wtedy, gdy zadanie ma symetrię promieniową albo dotyczy ruchu kątowego. Typowe przykłady to okręgi o środku w początku układu, krzywe spiralne, modele ruchu orbitalnego oraz pola lub fale zależne od odległości od punktu centralnego.

Są też użyteczne w analizie matematycznej i fizyce, ponieważ niektóre całki i równania stają się prostsze, gdy odległość i kąt są naturalnymi zmiennymi.

Spróbuj podobnej zamiany

Spróbuj samodzielnie z równaniem $r = 4\sin\theta$. Zamień je na postać kartezjańską i rozpoznaj wykres. Jeśli wyjdzie ci okrąg, to znaczy, że widzisz ten sam schemat przekształcenia w nieco innym kierunku.