Dywergencja i rotacja

Dywergencja i rotacja opisują dwie różne lokalne cechy pola wektorowego. Dywergencja mierzy, czy pole w pobliżu punktu rozchodzi się na zewnątrz czy ściska do środka, natomiast rotacja mierzy, czy ma tendencję do wprawiania małego obiektu w obrót.

Jeśli masz zapamiętać jedną różnicę, niech będzie taka: dywergencja dotyczy lokalnego wypływu, a rotacja lokalnego wirowania.

Dywergencja mierzy lokalny wypływ lub napływ

Dla trójwymiarowego pola wektorowego

$$\mathbf{F} = (P, Q, R),$$

dywergencja ma postać

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}.$$

Dodajemy tu szybkość zmian każdej składowej w jej własnym kierunku. Jeśli wynik w danym punkcie jest dodatni, to pole lokalnie zachowuje się tam bardziej jak przepływ na zewnątrz. Jeśli jest ujemny, pole lokalnie zachowuje się bardziej jak przepływ do środka.

Ten obraz przepływu jest najbardziej użyteczny wtedy, gdy pole wektorowe jest różniczkowalne w pobliżu punktu i rzeczywiście opisuje coś takiego jak prędkość.

Rotacja mierzy lokalny obrót

Dla tego samego pola 3D rotacja wynosi

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

Rotacja mierzy lokalny obrót. Niezerowa rotacja oznacza, że pole ma tendencję do wprawiania maleńkiego kółka łopatkowego w ruch obrotowy.

W polu 2D $\mathbf{F} = (P, Q)$ na wielu kursach używa się wyrażenia

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$$

jako „rotacji”. Ściśle mówiąc, jest to składowa $z$ trójwymiarowej rotacji, gdy pole leży w płaszczyźnie.

Dywergencja a rotacja na jednym przykładzie

Najłatwiej porównać je, zestawiając pole czysto rozchodzące się z polem czysto wirującym.

Najpierw rozważmy

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y).$$

To pole jest skierowane od początku układu na zewnątrz, a strzałki stają się dłuższe, gdy oddalasz się od zera. Jego dywergencja wynosi

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} = 1 + 1 = 2.$$

Jego wartość rotacji w 2D to

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial x} - \frac{\partial x}{\partial y} = 0 - 0 = 0.$$

To pole ma więc dodatnią dywergencję i zerową rotację. Zachowuje się jak czyste lokalne rozchodzenie się bez wirowania.

Porównajmy to teraz z polem

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x).$$

To pole krąży wokół początku układu. Jego dywergencja wynosi

$$\nabla \cdot \mathbf{G} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 0 + 0 = 0.$$

Jego wartość rotacji w 2D to

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} = 1 - (-1) = 2.$$

To pole ma więc zerową dywergencję, ale niezerową rotację. Zachowuje się jak lokalny obrót bez netto rozchodzenia się.

To jest główna różnica:

$$\mathbf{F}(x,y) = (x,y) \quad \text{rozchodzi się na zewnątrz,}$$

natomiast

$$\mathbf{G}(x,y) = (-y,x) \quad \text{wiruje wokół środka.}$$

Jeśli w zadaniu pytają, co wykrywa każda z tych wielkości, ten przykład już daje odpowiedź: dywergencja wychwytuje pierwsze pole, a rotacja drugie.

Typowe błędy przy dywergencji i rotacji

1. Traktowanie dywergencji i rotacji jako tego samego rodzaju pomiaru. Odpowiadają na różne pytania.
2. Zapominanie, że rotacja w 2D jest często przedstawiana jako skalarne uproszczenie, a nie pełny wektor 3D.
3. Zakładanie, że dodatnia dywergencja oznacza duże wektory. Dywergencja zależy od tego, jak pole się zmienia, a nie tylko od długości strzałek.
4. Zakładanie, że zerowa dywergencja oznacza pole zerowe. Pole może być niezerowe wszędzie i nadal mieć zerową dywergencję.
5. Używanie interpretacji przepływu bez sprawdzenia modelu. „Źródło”, „ujście” i „obrót” to intuicje fizyczne, a nie automatyczne fakty w każdym kontekście.

Gdzie używa się dywergencji i rotacji

Dywergencja i rotacja pojawiają się w analizie wektorowej, przepływie płynów i elektromagnetyzmie, ponieważ rozdzielają dwa użyteczne lokalne zachowania: rozszerzanie i obrót.

W modelach płynów dywergencja może opisywać lokalne ściskanie lub rozszerzanie przepływu, a rotacja lokalne wirowanie. W elektromagnetyzmie obie wielkości występują w równaniach Maxwella, gdzie łączą zachowanie pola z ładunkiem, prądem i zmiennymi polami.

Szerzej patrząc, pomagają odczytywać pole wektorowe, a nie tylko rysować strzałki.

Szybki obraz mentalny, który zwykle pomaga

Wyobraź sobie, że umieszczasz w polu dwa maleńkie narzędzia:

1. Mały balonik sprawdza, czy pole ma tendencję do rozszerzania czy ściskania wokół punktu. To idea dywergencji.
2. Małe kółko łopatkowe sprawdza, czy pole ma tendencję do wprawiania go w skręt. To idea rotacji.

To są obrazy, a nie definicje, ale są bardzo pomocne, gdy pole jest gładkie i przypomina przepływ.

Spróbuj podobnego zadania

Weź pole

$$\mathbf{H}(x,y) = (2x,-2y).$$

Oblicz jego dywergencję i wartość rotacji w 2D. Następnie zdecyduj, czy pole zachowuje się bardziej jak lokalne rozchodzenie się, lokalny obrót, oba naraz, czy żadne z nich.

Jeśli chcesz jeszcze jednego sprawdzenia, spróbuj z $\mathbf{K}(x,y) = (x,-x)$ i zobacz, czy zmienia się dywergencja, rotacja, czy obie te wielkości.