Całka podwójna

Całka podwójna sumuje wartości funkcji na obszarze dwuwymiarowym. Jeśli $f(x,y) \ge 0$, daje objętość pod wykresem $z=f(x,y)$ nad tym obszarem. Jeśli $f$ zmienia znak, zamiast tego daje wypadkową objętość skierowaną.

Zwykle zapisuje się ją jako

$$\iint_R f(x,y)\,dA$$

gdzie $R$ jest obszarem w płaszczyźnie $xy$, a $dA$ oznacza bardzo mały element pola. W praktyce większość początkowych zadań z całek podwójnych sprowadza się do dwóch rzeczy: poprawnego odczytania obszaru i wybrania granic, które rzeczywiście do niego pasują.

Co oznacza całka podwójna

Są tu trzy elementy:

• $f(x,y)$ to funkcja, którą sumujemy.
• $R$ to obszar, na którym ją sumujemy.
• $dA$ oznacza mały fragment pola.

Zatem $\iint_R f(x,y)\,dA$ znaczy: „dodaj wartości $f$ na wszystkich małych fragmentach pola w $R$”. Jeśli $f(x,y)=1$, wynikiem jest po prostu pole obszaru $R$. To przydatna kontrola, bo pokazuje, że całki podwójne mierzą nagromadzenie na obszarze, a nie tylko objętość pod zakrzywioną powierzchnią.

Dlaczego całka podwójna często staje się całką iterowaną

W wielu zadaniach z analizy matematycznej całkę podwójną oblicza się, zamieniając ją na dwie całki pojedyncze. Na prostokącie, a bardziej ogólnie przy standardowych założeniach, takich jak ciągłość na obszarze, można całkować po jednej zmiennej naraz.

Dla prostokąta $R = [a,b] \times [c,d]$,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$$

albo, jeśli tak jest prościej,

$$\iint_R f(x,y)\,dA = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy.$$

Kolejność ma znaczenie dla zapisu i wygody obliczeń. Przy typowych założeniach kursowych obie całki iterowane opisują tę samą wielkość, ale jedna z kolejności bywa znacznie łatwiejsza do policzenia.

W przypadku całki pojedynczej można myśleć o podziale przedziału na małe odcinki szerokości $dx$. W przypadku całki podwójnej dzieli się obszar na małe prostokąty o polu $dA$.

Każdy taki mały prostokąt wnosi w przybliżeniu

$$f(x,y)\,dA.$$

Zsumowanie tych wkładów na całym obszarze daje całkowite nagromadzenie.

Przykład całki podwójnej na prostokącie

Oblicz

$$\iint_R (x+2y)\,dA$$

gdzie

$$R = \{(x,y) : 0 \le x \le 2,\ 1 \le y \le 3\}.$$

Ten obszar jest prostokątem, więc zapis jako całka iterowana jest prosty:

$$\iint_R (x+2y)\,dA = \int_0^2 \int_1^3 (x+2y)\,dy\,dx.$$

Najpierw całkujemy względem $y$. W tym kroku traktujemy $x$ jak stałą:

$$\int_1^3 (x+2y)\,dy = \left[xy + y^2\right]_1^3 = (3x+9)-(x+1) = 2x+8.$$

Teraz całkujemy wyrażenie zewnętrzne względem $x$:

$$\int_0^2 (2x+8)\,dx = \left[x^2+8x\right]_0^2 = 4+16 = 20.$$

Zatem

$$\iint_R (x+2y)\,dA = 20.$$

To ma sens, ponieważ $x+2y$ jest dodatnie w całym obszarze $R$, więc całkowite nagromadzenie także powinno być dodatnie.

Co się zmienia, gdy obszar nie jest prostokątem

Jeśli obszar nie jest prostokątem, granice często zależą od drugiej zmiennej. Na przykład możesz spotkać obszar opisany krzywymi

$$0 \le x \le 1, \quad x^2 \le y \le x+1.$$

Wtedy granice wewnętrzne nie są już stałe. Zmieniają się wraz z $x$.

Właśnie dlatego szkic obszaru jest tak ważny. W wielu rozwiązaniach uczniowskich rachunki algebraiczne są poprawne, ale sam obszar jest źle wyznaczony.

Typowe błędy przy całkach podwójnych

1. Używanie granic, które nie odpowiadają zamierzonemu obszarowi.
2. Zapominanie, względem której zmiennej całkuje się najpierw. W $\int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx$ całka wewnętrzna jest względem $y$.
3. Traktowanie obu zmiennych jako aktywnych podczas kroku wewnętrznego. Zmienną zewnętrzną należy tam traktować jak stałą.
4. Zakładanie, że wynik jest objętością geometryczną, nawet gdy funkcja przyjmuje wartości ujemne. W takim przypadku całka podwójna daje objętość skierowaną.
5. Zmienianie kolejności całkowania bez poprawnej zmiany granic.

Gdzie stosuje się całki podwójne

Całki podwójne pojawiają się wszędzie tam, gdzie pewna wielkość jest rozłożona na obszarze, a nie wzdłuż linii.

• W geometrii dają pole lub objętość pod powierzchnią.
• W fizyce mogą sumować masę na blaszce, gdy gęstość zależy od położenia.
• W rachunku prawdopodobieństwa pojawiają się w ciągłych rozkładach łącznych dwóch zmiennych.
• W inżynierii stosuje się je wtedy, gdy dana wielkość zmienia się na powierzchni lub przekroju.

Interpretacja zależy od funkcji. Jeśli funkcja podcałkowa jest gęstością, wynikiem jest masa. Jeśli jest wysokością, wynikiem jest objętość skierowana.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj własnej wersji, zmieniając przykład na

$$\iint_R (2x+y)\,dA$$

na tym samym prostokącie $0 \le x \le 2$, $1 \le y \le 3$. Następnie odwróć kolejność całkowania i sprawdź, czy wartość pozostaje taka sama. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, przeanalizuj podobne zadanie na obszarze trójkątnym, gdzie granice zależą od drugiej zmiennej.