Szeregi potęgowe — promień zbieżności i przykłady

Szereg potęgowy to suma nieskończona zbudowana z potęg $(x-c)$:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$$

Tutaj $c$ jest środkiem, a liczby $a_n$ to stałe nazywane współczynnikami. W większości zadań najważniejsze pytanie jest proste: dla jakich wartości $x$ ten szereg jest zbieżny?

Odpowiedź porządkuje promień zbieżności $R$. Szereg potęgowy jest zbieżny, gdy $|x-c| < R$, rozbieżny, gdy $|x-c| > R$, a przy $|x-c| = R$ trzeba osobno zbadać końce przedziału.

Co oznacza promień zbieżności

Promień zbieżności to odległość od środka, a nie zbiór wartości $x$. Jeśli szereg potęgowy ma środek w punkcie $c$, to:

• jest zbieżny, gdy $|x-c| < R$,
• jest rozbieżny, gdy $|x-c| > R$,
• przypadek brzegowy $|x-c| = R$ trzeba zbadać osobno.

W zadaniach dla zmiennej rzeczywistej ta odległość daje przedział zbieżności. Jeśli środek to $c$, a promień to $R$, to część wewnętrzna ma postać

$$(c-R,\; c+R),$$

ale końce mogą, lecz nie muszą, należeć do ostatecznej odpowiedzi.

Dlaczego szeregi potęgowe są ważne

Szeregi potęgowe są ważne, ponieważ pozwalają traktować skomplikowane funkcje jak bardzo długie wielomiany. Wewnątrz przedziału zbieżności często łatwiej je różniczkować, całkować i przybliżać.

Ten skrót ma jednak warunek: takie działania wyraz po wyrazie są uzasadnione wewnątrz przedziału zbieżności, a nie automatycznie wszędzie.

Przykład szeregu potęgowego: znajdź promień i przedział

Rozważmy

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

To jest szereg potęgowy o środku $c=2$. Aby znaleźć promień zbieżności, zastosuj kryterium ilorazowe do

$$a_n = \frac{(x-2)^n}{3^n}.$$

Obliczamy

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(x-2)^{n+1}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{3}.$$

Kryterium ilorazowe daje zbieżność, gdy

$$\frac{|x-2|}{3} < 1,$$

czyli

$$|x-2| < 3.$$

Zatem promień zbieżności wynosi

$$R = 3.$$

Daje to wewnętrzny przedział $(-1,5)$. Teraz zbadajmy końce przedziału po kolei.

Dla $x=5$ szereg przyjmuje postać

$$\sum_{n=0}^{\infty} 1,$$

który jest rozbieżny.

Dla $x=-1$ szereg przyjmuje postać

$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n,$$

który także jest rozbieżny, ponieważ jego wyrazy zmieniają się naprzemiennie między $1$ i $-1$, zamiast dążyć do $0$.

Zatem końcowy przedział zbieżności to

$$(-1,5).$$

To pełny schemat postępowania na jednym przykładzie: wyznacz środek, znajdź $R$, zapisz przedział wewnętrzny, a następnie osobno zbadaj oba końce.

Typowe błędy przy promieniu zbieżności

Mylenie promienia z przedziałem

Promień to liczba, na przykład $R=3$. Przedział to zbiór rzeczywistych wartości $x$, na przykład $(-1,5)$. Są ze sobą powiązane, ale nie są tym samym.

Zapominanie o środku $c$

W $\sum a_n (x-c)^n$ środkiem jest $c$, a nie zawsze $0$. Jeśli szereg ma postać $(x-2)^n$, to warunek odległości opiera się na $|x-2|$, a nie na $|x|$.

Pomijanie badania końców przedziału

Kryterium ilorazowe i kryterium pierwiastkowe zwykle mówią, co dzieje się wewnątrz i na zewnątrz przedziału, ale często nic nie mówią o jego końcach. Nadal trzeba sprawdzić je osobno.

Zakładanie, że oba końce zachowują się tak samo

Nawet jeśli promień jest taki sam po obu stronach, jeden koniec może dawać zbieżność, a drugi rozbieżność. Zachowanie na końcach zależy od szeregu, który otrzymasz po podstawieniu.

Gdzie stosuje się szeregi potęgowe

Szeregi potęgowe pojawiają się w analizie matematycznej, równaniach różniczkowych i przybliżeniach. Są przydatne wtedy, gdy z funkcją trudno pracować bezpośrednio, ale łatwiej badać ją w pobliżu jednego punktu przez rozwinięcie w szereg.

Ważnymi przykładami są szeregi Taylora i Maclaurina. To szeregi potęgowe zaprojektowane tak, by lokalnie reprezentować funkcję, gdy spełnione są potrzebne warunki.

Spróbuj podobnego szeregu potęgowego

Spróbuj samodzielnie przeanalizować

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n}.$$

Znajdź środek, wyznacz promień, a następnie zbadaj końce przedziału. Jeśli potem chcesz zobaczyć jeszcze jeden podobny przypadek, przejdź do szeregu Taylora i zauważ, że pojawiają się tam te same idee związane ze zbieżnością.