Szereg Taylora a szereg Maclaurina

Różnica między szeregiem Taylora a szeregiem Maclaurina sprowadza się do jednego faktu: szereg Maclaurina to szereg Taylora rozwinięty wokół $0$. Jeśli środek to $a = 0$, mamy szereg Maclaurina. Jeśli środek ma dowolną inną wartość, mówimy o szeregu Taylora.

Brzmi to jak niewielka różnica w nazewnictwie, ale środek ma znaczenie, ponieważ szereg jest zwykle najbardziej użyteczny w pobliżu punktu, wokół którego został zbudowany.

Różnica w jednym wzorze

Jeśli funkcja ma dostatecznie wiele pochodnych w punkcie $a$, to jej szereg Taylora wokół $a$ ma postać

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Po podstawieniu $a = 0$ otrzymujemy szereg Maclaurina:

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

Zatem sama struktura się nie zmienia. Zmienia się środek.

Dlaczego środek ma znaczenie

Współczynniki pochodzą z pochodnych obliczonych w środku. Zmienisz środek, a liczby w szeregu zwykle też się zmienią.

Szereg Maclaurina jest zbudowany tak, aby opisywać funkcję w pobliżu $x = 0$. Szereg Taylora wokół $a = 2$ ma opisywać tę samą funkcję w pobliżu $x = 2$. Oba mogą być poprawne, ale jeden z nich może być znacznie praktyczniejszy dla wartości, która Cię interesuje.

Warto też unikać mocniejszego stwierdzenia, niż pozwala na to zadanie. Szereg Taylora lub Maclaurina jest zawsze pomyślany jako rozwinięcie lokalne. To, czy rzeczywiście jest równy funkcji na pewnym przedziale, zależy od funkcji i od tego, gdzie szereg jest zbieżny.

Przykład: $e^x$ dla dwóch różnych środków

Weźmy

$$f(x) = e^x$$

To dobry przykład do porównania, ponieważ każda pochodna funkcji $e^x$ jest nadal równa $e^x$.

Szereg Maclaurina dla $a = 0$

Dla $a = 0$ każda wartość pochodnej spełnia $f^{(n)}(0) = 1$, więc

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Pierwsze kilka wyrazów to

$$1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

Szereg Taylora dla $a = 1$

Teraz rozwijamy tę samą funkcję wokół $a = 1$. Wtedy każda wartość pochodnej w środku spełnia $f^{(n)}(1) = e$, więc

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{e}{n!}(x-1)^n$$

Pierwsze kilka wyrazów to

$$e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \cdots$$

Funkcja się nie zmieniła. Zmienił się tylko środek. Na tym właśnie polega cała różnica między szeregiem Taylora a szeregiem Maclaurina w tym przykładzie.

Kiedy używać szeregu Maclaurina, a kiedy Taylora

Używaj szeregu Maclaurina, gdy $0$ jest naturalnym punktem odniesienia albo gdy pochodne w $0$ łatwo obliczyć.

Używaj szeregu Taylora wokół innej wartości $a$, gdy potrzebujesz dobrego przybliżenia lokalnego w pobliżu tej wartości. Na przykład jeśli chcesz oszacować zachowanie funkcji w pobliżu $x = 3$, rozwinięcie wokół $a = 3$ jest zwykle lepsze niż rozwinięcie wokół $0$.

Typowe błędy uczniów

Traktowanie ich jako różnych pojęć

To nie są dwie różne teorie. Szereg Maclaurina jest szczególnym przypadkiem szeregu Taylora.

Ignorowanie środka

Dwa szeregi tej samej funkcji mogą być poprawne, ale ten rozwinięty blisko interesującej Cię wartości jest zwykle bardziej użytecznym przybliżeniem.

Zakładanie, że szereg zawsze jest równy funkcji

To nie jest automatyczne. Odpowiedź zależy od funkcji i od przedziału. Najbezpieczniej powiedzieć, że szereg daje rozwinięcie lokalne wokół swojego środka, a potem sprawdzić zbieżność, jeśli zadanie wymaga czegoś więcej.

Gdzie spotkasz to w analizie matematycznej

Szeregi Taylora i Maclaurina pojawiają się wtedy, gdy przybliżasz funkcje, badacz lokalne zachowanie, rozwiązujesz równania różniczkowe albo zastępujesz skomplikowane wyrażenie wielomianem, z którym łatwiej pracować.

Powracające pytanie jest proste: który punkt sprawia, że model lokalny jest najbardziej użyteczny?

Spróbuj podobnego zadania

Zapisz szereg dla $\sin x$ dwa razy: raz dla $a = 0$ i raz dla $a = \pi/4$. Porównanie tych dwóch rozwinięć to jeden z najszybszych sposobów, by dobrze zapamiętać różnicę.