Trójki pitagorejskie — popularne przykłady i jak je wyznaczać

Trójka pitagorejska to zestaw trzech dodatnich liczb całkowitych $(a,b,c)$, które spełniają warunek $a^2 + b^2 = c^2$. Mówiąc prościej, te trzy liczby są całkowitymi długościami boków trójkąta prostokątnego, a $c$ jest przeciwprostokątną. Klasyczny przykład to $(3,4,5)$, ponieważ $3^2 + 4^2 = 5^2$.

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Tę ideę stosuj tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wartości są dodatnimi liczbami całkowitymi. Wiele trójkątów prostokątnych spełnia twierdzenie Pitagorasa, ale tylko niektóre mają całkowite długości boków.

Popularne trójki pitagorejskie, które warto znać

Pojawiają się na tyle często, że warto rozpoznawać je od razu:

• $(3,4,5)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

Działają też ich wielokrotności. Na przykład podwojenie $(3,4,5)$ daje $(6,8,10)$, a

$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$

Dlatego wiele niepierwotnych trójek to po prostu przeskalowane wersje mniejszych.

Co sprawia, że trójka jest pierwotna

Pierwotna trójka pitagorejska nie ma wspólnego dzielnika większego niż $1$. Na przykład $(3,4,5)$ jest pierwotna, ale $(6,8,10)$ już nie, ponieważ wszystkie trzy liczby są podzielne przez $2$.

To ważne, ponieważ każda niepierwotna trójka powstaje przez przeskalowanie trójki pierwotnej. Jeśli rozumiesz trójki pierwotne, rozumiesz też całą większą rodzinę.

Jak wyznaczać trójki pitagorejskie

Są dwa praktyczne sposoby otrzymywania nowych trójek.

Przeskaluj trójkę, którą już znasz

Jeśli $(a,b,c)$ jest trójką pitagorejską, a $k$ jest dodatnią liczbą całkowitą, to $(ka,kb,kc)$ też jest trójką pitagorejską, ponieważ

$$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2+b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$$

To najszybszy sposób na zbudowanie przykładów takich jak $(9,12,15)$ lub $(10,24,26)$.

Użyj wzoru Euklidesa

Jeśli $m$ i $n$ są liczbami całkowitymi oraz $m > n > 0$, to

$$a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$$

daje trójkę pitagorejską.

Jeśli chcesz otrzymać trójkę pierwotną, czyli taką, w której trzy liczby nie mają wspólnego dzielnika większego niż $1$, to dodatkowo $m$ i $n$ muszą być względnie pierwsze i nie mogą być jednocześnie nieparzyste.

Przykład rozwiązany: wygeneruj trójkę

Weź $m = 4$ i $n = 1$. Ponieważ $m > n > 0$, można zastosować wzór Euklidesa.

Wtedy

$$a = 4^2 - 1^2 = 15,\quad b = 2(4)(1) = 8,\quad c = 4^2 + 1^2 = 17$$

Zatem $(8,15,17)$ jest trójką pitagorejską.

Możesz to sprawdzić bezpośrednio:

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$$

Teraz przeskaluj ją przez $2$, a otrzymasz $(16,30,34)$. Kształt trójkąta prostokątnego pozostaje taki sam, ale długości boków się podwajają.

Ten przykład pokazuje jednocześnie dwie główne idee: wzór Euklidesa tworzy trójkę, a skalowanie tworzy kolejne.

Typowe błędy przy trójkach pitagorejskich

Zapominanie o warunku liczb całkowitych

Równanie $a^2+b^2=c^2$ ma wiele rozwiązań w liczbach rzeczywistych, ale trójka pitagorejska wymaga, by wszystkie trzy wartości były dodatnimi liczbami całkowitymi.

Nazywanie każdej poprawnej trójki pierwotną

$(6,8,10)$ jest poprawną trójką, ale nie jest pierwotna, ponieważ wszystkie trzy liczby mają wspólny dzielnik równy $2$.

Mylenie „trójki” z „trójką pierwotną”

Trójka musi tylko spełniać warunek $a^2+b^2=c^2$ dla dodatnich liczb całkowitych. Dodatkowe warunki dotyczące $m$ i $n$ mają znaczenie tylko wtedy, gdy chcesz, aby trójka była pierwotna.

Umieszczanie największej liczby w złym miejscu

W trójce $(a,b,c)$ liczba $c$ jest przeciwprostokątną, więc musi być największą liczbą.

Kiedy trójki pitagorejskie są przydatne

Pojawiają się w geometrii trójkąta prostokątnego, geometrii analitycznej i we wstępie do teorii liczb. Są też przydatne, gdy chcesz szybko sprawdzić, czy trzy liczby całkowite mogą tworzyć trójkąt prostokątny.

W matematyce opartej na dowodach są standardowym przykładem równania diofantycznego, czyli równania, w którym szuka się rozwiązań całkowitych zamiast wszystkich rozwiązań rzeczywistych.

Spróbuj podobnego zadania

Użyj $m = 5$ i $n = 2$ we wzorze Euklidesa, a następnie sprawdź wynik w równaniu $a^2 + b^2 = c^2$. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, zajrzyj do Twierdzenia Pitagorasa, aby zobaczyć, jak ta sama zależność służy do obliczania brakujących długości boków.