Wzór na odległość — między dwoma punktami w 2D i 3D

Wzór na odległość podaje długość odcinka w linii prostej między dwoma punktami na płaszczyźnie współrzędnych lub w przestrzeni 3D. Dla punktów $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$ w 2D mamy

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Dla punktów $(x_1, y_1, z_1)$ i $(x_2, y_2, z_2)$ w 3D mamy

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Używaj tego wzoru, gdy chcesz obliczyć rzeczywistą długość między dwoma punktami, a nie tylko zmianę poziomą lub pionową. Ma on zastosowanie w standardowym kartezjańskim układzie współrzędnych, gdy każda oś ma tę samą skalę jednostek.

Wzór na odległość w 2D: co mierzy

Wzór łączy dwie prostopadłe zmiany: o ile przesuwasz się wzdłuż osi $x$ i o ile wzdłuż osi $y$. Te zmiany tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego, a odległość między punktami jest jego przeciwprostokątną.

Dlaczego wzór na odległość działa

Na płaszczyźnie wzór na odległość wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Jeśli

$$\Delta x = x_2 - x_1$$

oraz

$$\Delta y = y_2 - y_1$$

to

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$$

więc

$$d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$$

To znaczy, że nie jest to osobna reguła do zapamiętania. To po prostu twierdzenie Pitagorasa zapisane w postaci współrzędnych.

W 3D dodajesz jeszcze jedną prostopadłą zmianę:

$$d^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2$$

To ta sama idea rozszerzona o jeszcze jeden wymiar.

Przykład: odległość między dwoma punktami

Oblicz odległość między $(1, 2)$ a $(5, 7)$.

Zacznij od wzoru na odległość w 2D:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Podstaw współrzędne:

$$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 2)^2}$$

Uprość różnice:

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2}$$

Podnieś do kwadratu i dodaj:

$$d = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

Zatem dokładna odległość wynosi $\sqrt{41}$. W przybliżeniu dziesiętnym $d \approx 6.4$.

Warto zrobić szybkie sprawdzenie. Punkty są oddalone o $4$ jednostki w poziomie i o $5$ jednostek w pionie, więc odległość w linii prostej powinna być większa niż $5$, ale mniejsza niż $9$. $\sqrt{41}$ pasuje do tego oszacowania.

Wzór na odległość w 3D

Układ jest taki sam, ale teraz uwzględniasz także zmianę współrzędnej $z$.

Na przykład między $(1, 2, 3)$ a $(5, 7, 6)$ zmiany współrzędnych wynoszą $4$, $5$ i $3$, więc

$$d = \sqrt{4^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50}$$

Sposób postępowania się nie zmienia. Odejmujesz odpowiadające sobie współrzędne, podnosisz różnice do kwadratu, dodajesz je i wyciągasz dodatni pierwiastek kwadratowy.

Najczęstsze błędy we wzorze na odległość

1. Podnoszenie do kwadratu przed odejmowaniem. We wzorze występuje $(x_2 - x_1)^2$, a nie $x_2^2 - x_1^2$.
2. Zapomnienie o pierwiastku. Jeśli zatrzymasz się po dodaniu kwadratów, obliczysz $d^2$, a nie $d$.
3. Mieszanie osi. Współrzędna $x$ musi być zestawiona z drugą współrzędną $x$, i tak samo dla $y$ oraz $z$.
4. Zgubienie znaku minus przy podstawianiu. Na przykład $-1 - 3 = -4$, a nie $4$.
5. Używanie wzoru, gdy wykres nie przedstawia standardowej odległości kartezjańskiej. Jeśli osie mają różne skale, odległość geometryczna się zmienia.

Kiedy używa się wzoru na odległość

Wzoru na odległość używa się w geometrii analitycznej zawsze wtedy, gdy dane są dwa punkty i trzeba obliczyć długość odcinka między nimi.

Typowe zastosowania to wyznaczanie długości boków na wykresie, sprawdzanie, czy punkt leży na okręgu, porównywanie odległości od środka oraz mierzenie odległości w linii prostej w geometrii 3D.

Szybkie sprawdzenie przed zaakceptowaniem wyniku

Zadaj sobie dwa pytania:

1. Czy najpierw odjąłem, a dopiero potem podniosłem do kwadratu?
2. Czy końcowa odległość ma rozsądną wartość w porównaniu ze zmianami współrzędnych?

Te dwa sprawdzenia pozwalają szybko wychwycić większość błędów.

Spróbuj podobnego zadania

Oblicz odległość między $(-2, 3)$ a $(4, -1)$ w 2D. Następnie porównaj swoje rozwiązanie ze wzorem na środek odcinka, aby zobaczyć różnicę między wyznaczaniem długości a znajdowaniem punktu leżącego w połowie odcinka.