Stosunek — upraszczanie, porównywanie i zadania tekstowe

Stosunek porównuje dwie wielkości w ustalonej kolejności. Jeśli w klasie jest $12$ dziewcząt i $8$ chłopców, to stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców wynosi $12:8$, co można uprościć do $3:2$.

To nie znaczy, że są tylko $3$ dziewczęta i $2$ chłopców. Oznacza to, że porównanie jest równoważne: na każde $3$ dziewczęta przypada $2$ chłopców.

Co oznacza stosunek w matematyce

Stosunek pokazuje, jak jedna wielkość ma się do drugiej. Możesz zapisać go jako $a:b$, odczytać jako „a do b” albo zapisać jako $\frac{a}{b}$, gdy traktujesz to porównanie jako iloraz i $b \neq 0$.

Kolejność ma znaczenie. Stosunek $3:2$ nie jest tym samym co $2:3$, ponieważ pierwsza liczba zawsze odnosi się do pierwszej wymienionej wielkości.

Stosunki działają najlepiej wtedy, gdy obie wielkości mierzą ten sam rodzaj rzeczy albo gdy najpierw zamienisz je na tę samą jednostkę. Aby porównać $2$ metry i $50$ centymetrów, najpierw przelicz:

$$2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$$

Zatem stosunek wynosi

$$200:50 = 4:1$$

Jak upraszczać stosunki

Aby uprościć stosunek, podziel obie jego części przez ten sam wspólny dzielnik. To jest podobne do skracania ułamka, ale zachowujesz zapis w postaci stosunku.

Na przykład:

$$12:8 = 3:2$$

ponieważ obie części są podzielne przez $4$:

$$12 \div 4 = 3, \qquad 8 \div 4 = 2$$

Uproszczony stosunek zachowuje to samo porównanie. Jest łatwiejszy do odczytania, ale nie zmienia zależności.

Jeśli te dwie liczby nie mają wspólnego dzielnika większego niż $1$, to stosunek jest już zapisany w najprostszej postaci.

Przykład stosunku: rozwiązywanie zadania tekstowego

Załóżmy, że mieszanka farb wykorzystuje kolor czerwony i niebieski w stosunku $2:3$. Jeśli używasz $10$ kubków czerwonej farby, to ile kubków niebieskiej farby potrzebujesz?

Stosunek mówi, że na każde $2$ części czerwonego przypadają $3$ części niebieskiego.

Jeśli liczba czerwonych części rośnie z $2$ części do $10$ kubków, to współczynnik skali wynosi $5$, ponieważ

$$2 \times 5 = 10$$

Zastosuj ten sam współczynnik do koloru niebieskiego:

$$3 \times 5 = 15$$

Potrzebujesz więc $15$ kubków niebieskiej farby.

Kluczowa idea jest taka, że obie części muszą być skalowane przez ten sam współczynnik. To właśnie sprawia, że stosunek $2:3$ pozostaje bez zmian.

Jak zwykle działają zadania tekstowe na stosunki

Większość zadań tekstowych na stosunki prosi o wykonanie jednej z trzech rzeczy:

• uproszczenie porównania
• przeskalowanie porównania w górę lub w dół
• znalezienie jednej brakującej wielkości, gdy stosunek jest znany

W każdym przypadku logika jest taka sama: zachowaj stałą kolejność i spójność porównania.

Jedną z częstych pułapek jest mylenie porównania części do części z porównaniem części do całości. Jeśli chłopcy:dziewczęta = $2:3$, to łączna liczba części wynosi $5$, więc chłopcy stanowią $\frac{2}{5}$ klasy, a nie $\frac{2}{3}$.

Typowe błędy przy stosunkach

Odwrócenie kolejności

Jeśli zadanie pyta o koty:psy, a zapiszesz psy:koty, liczby mogą być poprawne, ale stosunek nadal będzie błędny.

Zapominanie o dopasowaniu jednostek

Porównanie $1$ godziny do $30$ minut jako $1:30$ jest niepoprawne, ponieważ jednostki są różne. Najpierw przelicz:

$$1 \text{ hour} = 60 \text{ minutes}$$

więc stosunek wynosi

$$60:30 = 2:1$$

Traktowanie stosunku jak różnicy

$5:2$ nie oznacza, że pierwsza wielkość jest zawsze „o $3$ większa” w sensie istotnym dla zadania. Stosunek jest porównaniem multiplikatywnym, a nie tylko różnicą.

Uproszczenie tylko jednej części

Jeśli zmieniasz jedną stronę stosunku, musisz zmienić drugą stronę przez ten sam współczynnik. W przeciwnym razie porównanie się zmienia.

Gdzie stosuje się stosunki

Stosunki pojawiają się w przepisach, na mapach, w rysunkach w skali, mieszankach, porównaniach klasowych i w wielu zadaniach algebraicznych dotyczących zależności równoważnych.

Są szczególnie pomocne wtedy, gdy prawdziwe pytanie brzmi „ile w porównaniu z iloma?”, a nie „ile łącznie?”.

Spróbuj podobnego zadania na stosunki

Mieszanka przekąsek zawiera orzechy i rodzynki w stosunku $4:1$. Jeśli masz $20$ kubków orzechów, to ile kubków rodzynek pozwoli zachować tę samą mieszankę?

Następnie zapisz stosunek rodzynek do orzechów i sprawdź, czy poprawnie odwróciłeś kolejność. Jeśli chcesz pójść o krok dalej, zmień liczbę orzechów na $12$ kubków i rozwiąż zadanie ponownie bez zaglądania do przykładu.