Proporcjonalność prosta i odwrotna — wzory i przykłady

Proporcjonalność prosta oznacza, że dwie wielkości zmieniają się przez ten sam czynnik, więc ich iloraz pozostaje stały. Proporcjonalność odwrotna oznacza, że jedna wielkość rośnie, a druga maleje w taki sposób, że ich iloczyn pozostaje stały. Krótko mówiąc, proporcjonalność prosta ma postać $y = kx$, a proporcjonalność odwrotna ma postać $y = \frac{k}{x}$.

Proporcjonalność prosta i odwrotna w skrócie

Jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, to podwojenie jednej powoduje podwojenie drugiej. Jeśli są odwrotnie proporcjonalne, to podwojenie jednej powoduje zmniejszenie drugiej o połowę.

Standardowe wzory to:

$$y = kx$$

dla proporcjonalności prostej oraz

$$y = \frac{k}{x}$$

dla proporcjonalności odwrotnej, gdzie $k$ jest stałą, a $x \ne 0$.

Najszybszy test wygląda tak:

• Proporcjonalność prosta: $\frac{y}{x}$ pozostaje stałe.
• Proporcjonalność odwrotna: $xy$ pozostaje stałe.

Co oznacza proporcjonalność prosta

W proporcjonalności prostej jedna wielkość jest zawsze stałą wielokrotnością drugiej. Jeśli długopisy kosztują po $2$ dolary za sztukę, to całkowity koszt $C$ jest wprost proporcjonalny do liczby długopisów $n$:

$$C = 2n$$

Tutaj stała proporcjonalności wynosi $k = 2$. Iloraz $\frac{C}{n}$ pozostaje równy $2$, dopóki cena jednostkowa się nie zmienia.

Ten warunek ma znaczenie. Jeśli pojawia się stała opłata za dostawę albo rabat przy większym zakupie, zależność przestaje być proporcjonalnością prostą.

Co oznacza proporcjonalność odwrotna

W proporcjonalności odwrotnej stały pozostaje iloczyn, a nie iloraz. Typowym przykładem jest czas i liczba pracowników potrzebnych do wykonania tej samej pracy, jeśli każdy pracuje w tym samym tempie i pomijamy straty związane z koordynacją.

Jeśli $w$ oznacza liczbę pracowników, a $t$ czas, to

$$wt = k$$

Zatem podwojenie liczby pracowników skraca czas o połowę.

Jest to model proporcjonalności odwrotnej tylko wtedy, gdy całkowita ilość pracy pozostaje stała i wszyscy pracownicy są jednakowo wydajni. W rzeczywistych projektach zwiększenie liczby pracowników nie zawsze idealnie skraca czas.

Przykład rozwiązany: proporcjonalność prosta i odwrotna

Różnicę łatwiej zauważyć, gdy porówna się oba przypadki obok siebie.

Przykład proporcjonalności prostej

Załóżmy, że $4$ zeszyty kosztują $12$ dolarów przy stałej cenie.

Koszt jednego zeszytu wynosi

$$k = \frac{12}{4} = 3$$

Zatem wzór proporcjonalności prostej ma postać

$$C = 3n$$

Jeśli kupisz $7$ zeszytów, to

$$C = 3(7) = 21$$

Czyli $7$ zeszytów kosztuje $21$ dolarów.

Przykład proporcjonalności odwrotnej

Załóżmy teraz, że $4$ pracowników może wykonać tę samą pracę w $6$ godzin, przy jednakowym tempie pracy i tej samej całkowitej ilości pracy.

Stały iloczyn wynosi

$$k = wt = 4 \cdot 6 = 24$$

Zatem wzór proporcjonalności odwrotnej ma postać

$$t = \frac{24}{w}$$

Jeśli pracę wykonuje $8$ pracowników, to

$$t = \frac{24}{8} = 3$$

Czyli wykonanie pracy zajmuje $3$ godziny.

Najważniejsza jest tu różnica:

• W przypadku proporcjonalności prostej stały był iloraz: $\frac{12}{4} = \frac{21}{7} = 3$.
• W przypadku proporcjonalności odwrotnej stały był iloczyn: $4 \cdot 6 = 8 \cdot 3 = 24$.

Typowe błędy przy proporcjonalności prostej i odwrotnej

Uznawanie każdej zależności rosnącej za proporcjonalność prostą

Nie każda zależność rosnąca jest proporcjonalnością prostą. W proporcjonalności prostej iloraz musi pozostawać stały, a model musi mieć postać $y = kx$.

Na przykład $y = x + 5$ rośnie wraz ze wzrostem $x$, ale nie jest proporcjonalnością prostą, ponieważ $\frac{y}{x}$ nie jest stałe.

Uznawanie każdej zależności malejącej za proporcjonalność odwrotną

Nie każda zależność malejąca jest proporcjonalnością odwrotną. W proporcjonalności odwrotnej iloczyn musi pozostawać stały.

Na przykład $y = 10 - x$ maleje, ale $xy$ nie pozostaje stałe, więc nie jest to proporcjonalność odwrotna.

Pomijanie warunku, od którego zależy poprawność modelu

Te wzory działają tylko wtedy, gdy sytuacja pozostaje prosta. Stała cena jednostkowa daje proporcjonalność prostą. Stała ilość pracy przy jednakowym tempie pracy daje proporcjonalność odwrotną. Jeśli ten warunek się zmienia, model może przestać działać.

Gdzie stosuje się proporcjonalność prostą i odwrotną

Proporcjonalność prosta pojawia się przy zakupach ze stałą ceną, skali map, przeliczaniu jednostek i drodze przebytej ze stałą prędkością.

Proporcjonalność odwrotna pojawia się w zadaniach o wydajności pracy, prędkości i czasie przejazdu dla stałej odległości oraz w prostych zależnościach fizycznych, gdzie jedna wielkość musi maleć, aby inna pozostała stała.

W obu przypadkach kluczową umiejętnością jest zauważenie, co pozostaje stałe.

Jak rozpoznać, czy zależność jest prosta czy odwrotna

Jeśli nie masz pewności, który model pasuje, najpierw sprawdź jedną znaną parę wartości.

1. Oblicz $\frac{y}{x}$. Jeśli pozostaje takie samo dla poprawnych punktów danych, rozważ proporcjonalność prostą.
2. Oblicz $xy$. Jeśli zamiast tego ono pozostaje takie samo, rozważ proporcjonalność odwrotną.
3. Jeśli żadne z nich nie jest stałe, zależność prawdopodobnie nie jest żadną z tych dwóch.

Spróbuj podobnego zadania

Zmień jedną liczbę w każdym przykładzie, zachowując ten sam warunek. W przykładzie z zeszytami zmień cenę jednostkową. W przykładzie z pracownikami zmień liczbę pracowników i sprawdź, czy iloczyn nadal pozostaje stały.