Współczynniki jednostkowe — jak obliczać i rozwiązywać zadania z życia

Współczynnik jednostkowy mówi, ile czegoś przypada dokładnie na $1$ jednostkę czegoś innego. Jeśli jabłka kosztują $12$ dolarów za $3$ funty, to współczynnik jednostkowy pokazuje koszt $1$ funta.

Aby obliczyć współczynnik jednostkowy, podziel przez tę wielkość, którą chcesz zamienić na $1$. W przykładzie z jabłkami dzielimy dolary przez funty:

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ pounds}} = 4 \text{ dollars per pound}$$

To jest ważne, ponieważ forma „na $1$” jest najłatwiejsza do porównywania.

Czym jest współczynnik jednostkowy?

Wskaźnik porównuje dwie wielkości o różnych jednostkach, na przykład mile i godziny albo dolary i funty. Współczynnik jednostkowy to to samo porównanie zapisane tak, aby jedna z wielkości była równa $1$.

To znaczy:

$$\text{unit rate} = \frac{\text{first quantity}}{\text{second quantity}}$$

gdy chcesz otrzymać odpowiedź „na $1$” drugiej wielkości. Druga wielkość nie może być równa $0$, ponieważ dzielenie przez $0$ jest niezdefiniowane.

Zatem:

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ pounds}} = \frac{4 \text{ dollars}}{1 \text{ pound}}$$

a współczynnik jednostkowy wynosi $4$ dolary za funt.

Dlaczego współczynniki jednostkowe ułatwiają szybsze porównywanie

Współczynniki jednostkowe zamieniają nieporęczne porównania we wspólny format. Zamiast porównywać „$12$ dolarów za $3$ funty” z „$15$ dolarów za $4$ funty”, możesz bezpośrednio porównać koszt za funt.

Ta sama idea pojawia się przy prędkości, wynagrodzeniu, zużyciu paliwa i cenach. Samochód może pokonywać mile na godzinę, pracownik może zarabiać dolary na godzinę, a sklep może podawać cenę za uncję.

Przykład: który zestaw zeszytów jest bardziej opłacalny?

Załóżmy, że jeden sklep sprzedaje $3$ zeszyty za $12$, a drugi $5$ zeszytów za $18$. Która oferta jest tańsza w przeliczeniu na jeden zeszyt?

Oblicz koszt $1$ zeszytu dla każdego sklepu.

$$\frac{12 \text{ dollars}}{3 \text{ notebooks}} = 4 \text{ dollars per notebook}$$

oraz

$$\frac{18 \text{ dollars}}{5 \text{ notebooks}} = 3.6 \text{ dollars per notebook}$$

Teraz porównanie jest jasne: $3.6$ dolara za zeszyt to mniej niż $4$ dolary za zeszyt, więc druga oferta jest korzystniejsza.

To jest schemat większości zadań tekstowych ze współczynnikiem jednostkowym. Zapisz każdą opcję jako „koszt $1$ sztuki”, „droga w $1$ godzinę” albo w innej formie „na $1$”, a potem porównaj.

Jak obliczyć współczynnik jednostkowy

1. Określ dwie porównywane wielkości i ich jednostki.
2. Zdecyduj, która wielkość ma być zapisana na $1$ drugiej.
3. Podziel przez tę wielkość, którą chcesz zamienić na $1$.
4. Zachowaj jednostki w odpowiedzi.
5. Sprawdź, czy wynik pasuje do sytuacji.

Jeśli zadanie pyta o mile na godzinę, podziel mile przez godziny. Jeśli pyta o dolary za funt, podziel dolary przez funty. Sformułowanie ma znaczenie, bo wskazuje, która wielkość ma być na górze.

Najczęstsze błędy w zadaniach o współczynniku jednostkowym

Odwrócenie kolejności

Jeśli zadanie pyta o dolary za zeszyt, odpowiedź powinna wyglądać jak dolary podzielone przez zeszyty, a nie zeszyty podzielone przez dolary. Odwrócenie wskaźnika zmienia znaczenie.

Pomijanie jednostek

Sama liczba nie wystarcza. Wynik $4$ może oznaczać $4$ dolary za zeszyt, $4$ mile na godzinę albo coś zupełnie innego.

Porównywanie sum zamiast współczynników jednostkowych

Wyższa cena całkowita nie zawsze oznacza gorszą ofertę. Przed porównaniem trzeba obliczyć cenę za $1$ sztukę lub za $1$ jednostkę.

Dzielenie przez niewłaściwą wielkość

Mianownik musi odpowiadać wielkości, którą chcesz zamienić na $1$. Jeśli chcesz „na godzinę”, dziel przez godziny. Jeśli chcesz „za funt”, dziel przez funty.

Gdzie stosuje się współczynniki jednostkowe

Współczynniki jednostkowe pojawiają się podczas zakupów, w podróży, przy wynagrodzeniach, w przepisach, statystykach sportowych i nauce. Są szczególnie przydatne wtedy, gdy dwie opcje mają różne rozmiary opakowań albo obejmują różne przedziały czasu.

Naturalnie łączą się też z przeliczaniem jednostek. Gdy uważnie śledzisz jednostki, możesz sprawdzić, czy zapis odpowiada sensowi zadania.

Spróbuj podobnego zadania

Ułóż własny przykład z zakupami spożywczymi, paliwem albo stawką godzinową. Zapisz każdą możliwość jako wskaźnik na $1$ jednostkę, a potem porównaj wyniki. Jeśli chcesz poćwiczyć inną umiejętność z matematyki codziennej, zobacz podobne zadanie o proporcjach.