Kąty naprzemianległe wewnętrzne

Kąty naprzemianległe wewnętrzne to kąty leżące między dwiema prostymi i po przeciwnych stronach siecznej. Jeśli te dwie proste są równoległe, każda para kątów naprzemianległych wewnętrznych ma taką samą miarę.

Ten warunek ma znaczenie. Jeśli proste nie są równoległe, nie można zakładać, że te kąty są równe.

Jak rozpoznać kąty naprzemianległe wewnętrzne

Sieczna to prosta, która przecina dwie inne proste. Kąty wewnętrzne to te, które znajdują się w obszarze między tymi dwiema prostymi.

Spośród tych kątów wewnętrznych para kątów naprzemianległych wewnętrznych leży po przeciwnych stronach siecznej. Na typowym rysunku jedna para to kąt wewnętrzny po lewej stronie przy górnym punkcie przecięcia oraz kąt wewnętrzny po prawej stronie przy dolnym punkcie przecięcia.

Jeśli nie masz pewności, sprawdź po kolei dwie rzeczy:

1. Oba kąty muszą leżeć między dwiema prostymi.
2. Kąty muszą znajdować się po przeciwnych stronach siecznej.

Kiedy kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe

Jeśli dwie proste równoległe są przecięte sieczną, to kąty naprzemianległe wewnętrzne są przystające.

Jeśli proste $l$ i $m$ są równoległe, a kąty $a$ i $b$ tworzą parę kątów naprzemianległych wewnętrznych, to

$$a = b$$

To reguła, której uczniowie najczęściej potrzebują w zadaniach z geometrii. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy warunek równoległości jest podany albo został już udowodniony.

Przykład rozwiązany krok po kroku

Załóżmy, że dwie proste równoległe są przecięte sieczną. Jeden z kątów naprzemianległych wewnętrznych ma miarę $x + 12$ stopni, a jego para ma $68^\circ$. Oblicz $x$.

Ponieważ proste są równoległe, kąty są równe. Przyrównaj je i rozwiąż równanie:

$$x + 12 = 68$$ $$x = 56$$

Zatem szukany kąt ma miarę $68^\circ$, a wartość zmiennej to $56$. Typowy schemat jest taki: najpierw rozpoznaj zależność, a potem zapisz równanie.

Kąty naprzemianległe wewnętrzne a kąty odpowiadające

Uczniowie często mylą kąty naprzemianległe wewnętrzne z kątami odpowiadającymi, ponieważ oba rodzaje pojawiają się, gdy sieczna przecina proste równoległe, i w takim przypadku oba są równe.

Różnica dotyczy położenia. Kąty naprzemianległe wewnętrzne leżą między dwiema prostymi i po przeciwnych stronach siecznej. Kąty odpowiadające zajmują odpowiadające sobie pozycje przy obu punktach przecięcia.

Jeśli najpierw zapytasz „wewnątrz czy na zewnątrz?”, a potem „po tej samej stronie czy po przeciwnych stronach?”, nazwa zwykle staje się jasna.

Najczęstsze błędy

Najczęstszy błąd to pomijanie warunku równoległości prostych. Rysunek może wyglądać tak, jakby proste były równoległe, ale nie wolno korzystać z równości tych kątów, jeśli zadanie nie podaje równoległości albo jeśli nie została ona udowodniona.

Inny błąd to wybranie kąta leżącego poza dwiema prostymi. Jeśli jeden z kątów znajduje się na zewnątrz pary prostych, to nie jest kątem naprzemianległym wewnętrznym.

Istnieje też twierdzenie odwrotne: jeśli sieczna przecina dwie proste i para kątów naprzemianległych wewnętrznych jest przystająca, to te dwie proste są równoległe.

Gdzie wykorzystuje się to w geometrii

Kąty naprzemianległe wewnętrzne pojawiają się w dowodach opartych na zależnościach między kątami, na rysunkach trójkątów z pomocniczymi prostymi równoległymi oraz w zadaniach, w których trzeba uzasadnić, że dwie proste są równoległe.

To prosta idea, ale pomaga zamienić skomplikowany rysunek w mniejszy zestaw równych kątów, które łatwiej śledzić.

Spróbuj podobnego zadania

Narysuj dwie proste równoległe i sieczną. Zaznacz jeden kąt wewnętrzny o mierze $115^\circ$. Znajdź jego kąt naprzemianległy wewnętrzny, a następnie znajdź sąsiedni kąt wewnętrzny po tej samej stronie siecznej.

Jeśli chcesz pójść o krok dalej, ułóż własną wersję z niewiadomą, na przykład $x + 20$, i przyrównaj ją do $115$ przed rozwiązaniem.