Kąty zewnętrzne — twierdzenie i suma kątów zewnętrznych

Kąty zewnętrzne to kąty leżące na zewnątrz figury, które pojawiają się po przedłużeniu jednego z boków. Najważniejsze fakty są proste: w trójkącie kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch nieprzyległych kątów wewnętrznych, a w każdym wielokącie suma jednego kąta zewnętrznego przy każdym wierzchołku wynosi $360^\circ$, jeśli mierzymy je w tym samym kierunku.

Jeśli masz zapamiętać tylko jeden skrót, zapamiętaj ten: kąt wewnętrzny i przyległy do niego kąt zewnętrzny zawsze sumują się do $180^\circ$.

Co oznacza kąt zewnętrzny

Weź wielokąt i przedłuż jeden bok poza wierzchołek. Kąt między tym przedłużeniem a następnym bokiem to kąt zewnętrzny.

Ten kąt zewnętrzny leży obok kąta wewnętrznego przy tym samym wierzchołku, więc razem tworzą kąt półpełny:

$$\text{kąt wewnętrzny} + \text{przyległy kąt zewnętrzny} = 180^\circ$$

Ta zależność jest często najszybszym sposobem przechodzenia między kątem wewnętrznym a zewnętrznym.

Jak działa twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta

W trójkącie kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które z nim nie sąsiadują. Nazywa się je nieprzyległymi kątami wewnętrznymi.

Jeśli nieprzyległe kąty wewnętrzne mają miary $a$ i $b$, a kąt zewnętrzny ma miarę $e$, to

$$e = a + b$$

To działa tylko dla dwóch nieprzyległych kątów wewnętrznych. Kąt wewnętrzny leżący obok kąta zewnętrznego nie należy do tego twierdzenia.

Dlaczego suma kątów zewnętrznych wielokąta wynosi $360^\circ$

Jeśli weźmiesz po jednym kącie zewnętrznym przy każdym wierzchołku wielokąta i zmierzysz je w tym samym kierunku obrotu, to suma zawsze wynosi

$$360^\circ$$

Dotyczy to trójkątów, czworokątów, pięciokątów i większych wielokątów. Pomocny sposób wyobrażenia sobie tego to spacer wokół figury: kąty zewnętrzne śledzą całkowity obrót, a po pełnym obejściu wracasz do początkowego kierunku, czyli wykonujesz pełny obrót o $360^\circ$.

W wielokącie foremnym wszystkie kąty zewnętrzne są równe, więc każdy z nich ma miarę

$$\frac{360^\circ}{n}$$

gdzie $n$ to liczba boków.

Przykład: zastosowanie twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta

W trójkącie dwa nieprzyległe kąty wewnętrzne mają miary $48^\circ$ i $67^\circ$. Oblicz kąt zewnętrzny przy trzecim wierzchołku.

Zastosuj twierdzenie bezpośrednio:

$$e = 48^\circ + 67^\circ = 115^\circ$$

Zatem kąt zewnętrzny ma miarę $115^\circ$.

Jeśli chcesz też obliczyć przyległy do niego kąt wewnętrzny, użyj zależności dla kąta półpełnego:

$$\text{przyległy kąt wewnętrzny} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Ten przykład pokazuje dwa najczęstsze kroki:

1. Dodaj dwa nieprzyległe kąty wewnętrzne, aby otrzymać kąt zewnętrzny.
2. Odejmij od $180^\circ$, jeśli w zadaniu trzeba też wyznaczyć przyległy kąt wewnętrzny.

W przypadku wielokąta foremnego sposób postępowania jest inny: najpierw użyj $360^\circ / n$, aby znaleźć jeden kąt zewnętrzny, a potem odejmij od $180^\circ$, jeśli potrzebujesz kąta wewnętrznego.

Typowe błędy przy kątach zewnętrznych

Użycie niewłaściwych kątów w twierdzeniu dla trójkąta

W trójkącie kąt zewnętrzny jest równy sumie dwóch nieprzyległych kątów wewnętrznych, a nie kąta wewnętrznego leżącego obok niego.

Dodawanie więcej niż jednego kąta zewnętrznego przy wierzchołku

Zasada $360^\circ$ dotyczy jednego kąta zewnętrznego na każdy wierzchołek. Jeśli doliczysz dodatkowe kąty albo pomieszasz różne kąty zewnętrzne przy tym samym narożniku, suma nie będzie zgodna z twierdzeniem.

Pomijanie warunku dotyczącego kierunku

W wielokątach bierz po jednym kącie zewnętrznym przy każdym wierzchołku i mierz je konsekwentnie, poruszając się wokół figury. To właśnie sprawia, że suma odpowiada jednemu pełnemu obrotowi.

Zakładanie, że każdy wielokąt ma równe kąty zewnętrzne

Tylko wielokąty foremne mają równe kąty zewnętrzne. Wielokąty nieregularne nadal mają sumę kątów zewnętrznych równą $360^\circ$, ale poszczególne kąty mogą mieć różne miary.

Kiedy używa się kątów zewnętrznych

Kąty zewnętrzne pojawiają się w dowodach dotyczących trójkątów, zadaniach o kątach w wielokątach i problemach z wielokątami foremnymi. Są szczególnie przydatne wtedy, gdy trzeba szybko znaleźć nieznany kąt bez wyznaczania najpierw wszystkich kątów na rysunku.

Łączą też geometrię z pojęciem obrotu. Dlatego suma kątów zewnętrznych w wielokącie jest stała i łatwa do zapamiętania.

Spróbuj podobnego zadania

Spróbuj teraz z dziesięciokątem foremnym. Najpierw oblicz jeden kąt zewnętrzny, używając $360^\circ / 10$, a potem wyznacz przyległy kąt wewnętrzny.

Jeśli chcesz sprawdzić swoje rozumowanie krok po kroku, porównaj rozwiązanie z solverem po zakończeniu i zobacz, czy w odpowiednim momencie użyto sumy kątów zewnętrznych albo zależności dla kąta półpełnego.