Wzory na objętość popularnych brył 3D

Oto najważniejsze wzory na objętość popularnych brył 3D: graniastosłupy i walce wykorzystują pole podstawy razy wysokość, ostrosłupy i stożki to jedna trzecia tego schematu, a kule mają wzór oparty na promieniu. Gdy zauważysz tę strukturę, wzory stają się łatwiejsze do zrozumienia i zapamiętania.

Wzory na objętość popularnych brył 3D

Bryła	Wzór na objętość	Co trzeba wiedzieć
Prostopadłościan	$V = lwh$	Długość, szerokość i wysokość
Sześcian	$V = s^3$	Wszystkie krawędzie mają tę samą długość
Dowolny graniastosłup	$V = Bh$	$B$ to pole podstawy
Walec	$V = \pi r^2 h$	To samo co $Bh$, bo podstawa jest kołem
Dowolny ostrosłup	$V = \frac\{1\}\{3\}Bh$	Jedna trzecia objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości
Stożek	$V = \frac\{1\}\{3\}\pi r^2 h$	Jedna trzecia objętości walca o tej samej podstawie i wysokości
Kula	$V = \frac\{4\}\{3\}\pi r^3$	Używa promienia, a nie wysokości

W przypadku ostrosłupów i stożków $h$ oznacza wysokość prostopadłą. Jeśli w zadaniu podano zamiast niej tworzącą, tej wartości nie podstawia się bezpośrednio do wzoru na objętość.

Dlaczego większość wzorów na objętość ma ten sam schemat

Najprostsza idea jest taka:

$$V = Bh$$

Tutaj $B$ oznacza pole podstawy, a $h$ to wysokość mierzona prostopadle od tej podstawy.

Ten jeden schemat wyjaśnia od razu kilka wzorów. Prostopadłościan ma prostokątną podstawę, więc $B = lw$ i wzór przyjmuje postać $V = lwh$. Walec ma kołową podstawę, więc $B = \pi r^2$ i wzór staje się $V = \pi r^2 h$.

Ostrosłupy i stożki opierają się na tej samej idei podstawy i wysokości, ale mają tylko jedną trzecią objętości odpowiadającego im graniastosłupa lub walca:

$$V = \frac{1}{3}Bh$$

Kula jest najważniejszą popularną bryłą, która nie pasuje do schematu pole podstawy razy wysokość, dlatego jej wzór warto zapamiętać osobno.

Przykład: obliczanie objętości stożka

Oblicz objętość stożka o promieniu $3$ cm i wysokości $8$ cm.

Użyj wzoru na stożek:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

Podstaw wartości:

$$V = \frac{1}{3}\pi (3^2)(8)$$

Uprość:

$$V = \frac{1}{3}\pi (9)(8) = \frac{72}{3}\pi = 24\pi$$

Zatem objętość wynosi $24\pi\ \text{cm}^3$, czyli około $75.4\ \text{cm}^3$.

Ten przykład jest przydatny, ponieważ odpowiadający mu walec o tym samym promieniu i wysokości miałby objętość $72\pi\ \text{cm}^3$. Stożek ma dokładnie jedną trzecią tej objętości, co daje dobrą wbudowaną kontrolę wyniku.

Najczęstsze błędy we wzorach na objętość

1. Używanie średnicy tam, gdzie wzór wymaga promienia. Jeśli podano $d$, najpierw przelicz na $r = \frac{d}{2}$.
2. Używanie tworzącej dla stożka lub ostrosłupa. Objętość wymaga wysokości prostopadłej.
3. Mylenie pola powierzchni z objętością. Objętość mówi, ile miejsca jest wewnątrz, a nie jak duża jest powierzchnia zewnętrzna.
4. Pomijanie jednostek sześciennych. Objętość należy zapisywać w jednostkach takich jak $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ lub $\text{in}^3$.
5. Traktowanie $B$ jako długości boku zamiast pola podstawy. We wzorze $V = Bh$ symbol $B$ oznacza już pole.

Kiedy używać wzorów na objętość

Wzory na objętość stosuje się wtedy, gdy trzeba obliczyć pojemność lub wewnętrzny rozmiar obiektu trójwymiarowego. W szkole zwykle oznacza to zadania z geometrii. Poza szkołą ta sama idea pojawia się przy szacowaniu, ile zmieści pudełko, ile cieczy wejdzie do zbiornika albo ile materiału wypełni pojemnik.

Znaczenie ma też warunek zadania: wzór jest tylko tak dokładny, jak model bryły. Jeśli rzeczywisty obiekt jest tylko w przybliżeniu walcem albo kulą, wynik również będzie przybliżony.

Spróbuj samodzielnie

Wybierz walec o promieniu $4$ jednostek i wysokości $10$ jednostek, a następnie oblicz jego objętość. Potem zachowaj tę samą podstawę i wysokość, ale zamień bryłę na stożek. Zobaczenie tych dwóch odpowiedzi obok siebie to jeden z najszybszych sposobów na utrwalenie wzorów.