분수의 덧셈 — 분모가 같은 경우와 다른 경우

분수의 덧셈은 같은 전체의 부분들을 합치는 것입니다. 분모가 이미 같다면 분자끼리 더하고 분모는 그대로 둡니다. 분모가 다르면 먼저 공통분모를 사용해 분수를 고쳐 써야 합니다.

기본 규칙은 다음과 같습니다.

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$

하지만 이 규칙은 두 분수가 같은 크기의 부분을 셀 때만 성립합니다. $\frac{2}{7}$와 $\frac{3}{7}$은 둘 다 7분의 몇이므로 바로 더할 수 있습니다. 반면 $\frac{1}{3}$과 $\frac{1}{4}$는 같은 단위로 고쳐 쓰기 전에는 더할 수 없습니다.

분모가 같은 분수의 덧셈

분모가 같은 분수는 이미 같은 단위로 나타나 있으므로 바로 더할 수 있습니다.

예를 들면,

$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{5}{7}.$$

각 조각의 크기는 바뀌지 않았으므로 분모는 $7$로 그대로입니다. 전체에서 7분의 몇이 있는지만 세면 됩니다.

분모가 다른 분수의 덧셈

분모가 다르면 먼저 두 분수를 같은 분모로 나타내야 합니다. 보통 최소공통분모를 선택하면 수가 더 작아져 계산하기 쉽습니다.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$에서 공통분모는 $12$가 될 수 있습니다.

$$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}, \qquad \frac{1}{4} = \frac{3}{12}.$$

이제 두 분수 모두 12분의 몇으로 쓰였으므로 덧셈이 가능합니다.

$$\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}.$$

핵심은 양을 바꾸는 것이 아니라는 점입니다. 두 분수가 같은 크기의 부분을 나타내도록 단위만 바꾸는 것입니다.

풀이 예제: $\frac{3}{8} + \frac{1}{6}$

분모가 다르므로 $3+1$과 $8+6$을 더하면 안 됩니다. 먼저 공통분모를 구합니다.

$8$과 $6$의 최소공배수는 $24$이므로 두 분수를 24분의 몇으로 고쳐 씁니다.

$$\frac{3}{8} = \frac{9}{24}, \qquad \frac{1}{6} = \frac{4}{24}.$$

이제 분자끼리 더합니다.

$$\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{13}{24}.$$

$13$과 $24$는 $1$보다 큰 공약수가 없으므로 $\frac{13}{24}$는 이미 기약분수입니다. 따라서

$$\frac{3}{8} + \frac{1}{6} = \frac{13}{24}.$$

분수의 덧셈에서 자주 하는 실수

흔한 실수 중 하나는 다음처럼 분자와 분모를 모두 더하는 것입니다.

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{2}{7}.$$

이것은 3분의 1과 4분의 1이 서로 다른 크기의 부분이기 때문에 올바르지 않습니다.

또 다른 실수는 동치분수를 유지하도록 분자도 함께 바꾸지 않고 분모만 바꾸는 것입니다. 예를 들어 $\frac{1}{3}$을 12분의 몇으로 고치면 $\frac{4}{12}$이지, $\frac{1}{12}$가 아닙니다.

세 번째 실수는 결과를 더 줄일 수 있는데도 약분을 하지 않는 것입니다. 예를 들면,

$$\frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

분수의 덧셈은 어디에 쓰이나요?

분수의 덧셈은 하나의 전체에서 여러 부분을 합칠 때마다 등장합니다. 대표적인 예로는 요리법, 측정, 확률, 그리고 유리식을 다루는 대수 문제가 있습니다.

같은 공통분모의 아이디어는 분수의 뺄셈에도 그대로 쓰입니다. 이 개념을 이해하면 두 연산 모두 훨씬 쉽게 확인할 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$\frac{5}{12} + \frac{1}{8}$을 스스로 풀어 보세요. 공통분모를 찾고, 두 분수를 고쳐 쓴 뒤, 가능하면 결과를 약분해 보세요.