적분 공식 정리

적분 공식 정리가 필요하다면 먼저 이것부터 보면 됩니다. 기본 부정적분에서는 식이 $x^n$, $\frac{1}{x}$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ 같은 표준형에 맞는지 확인하고, 맞으면 대응하는 원시함수를 바로 쓰면 됩니다.

여기서는 가장 자주 쓰는 기본 적분 공식, $n=-1$ 예외, 대표 예제, 자주 하는 실수까지 한 번에 정리합니다. 복잡한 치환적분이나 부분적분이 아니라, 공식만으로 풀리는 경우를 빠르게 구분하는 데 초점을 둡니다.

꼭 기억할 기본 적분 공식

상수배와 합, 차는 항별로 적분할 수 있습니다.

$$\int \left(af(x) + bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

자주 쓰는 공식은 아래처럼 정리할 수 있습니다.

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)$$ $$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \quad (x \ne 0)$$ $$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0,\ a \ne 1)$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$

이 공식을 외울 때는 식 모양만 보지 말고 조건도 같이 봐야 합니다. 특히 거듭제곱 공식은 $n=-1$일 때 쓸 수 없습니다.

적분 공식에서 $n=-1$이 예외인 이유

가장 많이 헷갈리는 예외는 거듭제곱 공식의 $n=-1$입니다. 보통은 지수를 하나 올리고 그 값으로 나누지만, $n=-1$이면 분모가 $0$이 되어 같은 규칙을 적용할 수 없습니다.

그래서

$$\int x^{-1}\,dx$$

는 거듭제곱 공식이 아니라

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

를 써야 합니다. 즉, $\frac{1}{x}$는 거듭제곱 공식의 예외이지, 공식이 틀린 경우가 아닙니다.

적분 공식 적용 예제

다음을 계산해 보겠습니다.

$$\int \left(4x^3 - \frac{2}{x} + 3\cos x\right)\,dx$$

각 항이 표준형에 바로 맞으므로 항별로 적분합니다.

$$\int 4x^3\,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$$ $$\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|$$ $$\int 3\cos x\,dx = 3\sin x$$

합치면

$$\int \left(4x^3 - \frac{2}{x} + 3\cos x\right)\,dx = x^4 - 2\ln|x| + 3\sin x + C$$

검산은 미분으로 합니다.

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 - 2\ln|x| + 3\sin x + C\right) = 4x^3 - \frac{2}{x} + 3\cos x$$

원래 적분식과 같으므로 맞는 답입니다.

이 예제의 핵심은 복잡한 기술이 아니라 "각 항의 모양을 정확히 읽는 것"입니다. $x^3$는 거듭제곱 공식, $\frac{1}{x}$는 로그 공식, $\cos x$는 삼각함수 공식을 쓴다는 판단만 정확하면 풀이가 짧아집니다.

적분 공식에서 자주 하는 실수

1. $n=-1$인데도 거듭제곱 공식을 쓰는 실수. 이 경우는 반드시 $\ln|x|$를 써야 합니다.
2. 부정적분인데 $+C$를 빼먹는 실수. 정적분이 아니라면 적분상수는 필요합니다.
3. 곱에 대해 적분이 분배된다고 생각하는 실수. 보통 $\int f(x)g(x)\,dx$는 항별로 쪼갤 수 없습니다.
4. $\int \frac{1}{x}\,dx$에서 절댓값을 빼먹는 실수. 실수 범위에서는 $\ln|x|$가 안전한 형태입니다.
5. $\int \sin x\,dx$와 $\int \cos x\,dx$의 부호를 뒤바꾸는 실수.

기본 적분 공식을 바로 쓸 수 있는 경우

적분 공식은 보통 첫 번째 확인 단계입니다. 식이 이미 표준형이거나 조금만 정리하면 표준형이 될 때 가장 강합니다.

반대로 함수가 합성이 되어 있거나, 서로 다른 함수가 곱으로 묶여 있으면 기본 공식만으로는 부족할 수 있습니다. 그럴 때는 치환적분이나 부분적분 같은 다음 방법을 검토해야 합니다.

비슷한 적분을 직접 풀어 보기

다음 적분을 스스로 풀어 보세요.

$$\int \left(6x - 5\sin x + \frac{4}{1+x^2}\right)\,dx$$

세 항 모두 표준 공식에 맞기 때문에 식을 억지로 바꿀 필요는 없습니다. 먼저 혼자 풀어 보고, 비슷한 식으로 한 문제 더 만들어 풀면 공식을 외우는 것보다 훨씬 오래 기억됩니다.

비슷한 유형을 하나 더 연습해 보고 싶다면, 항 하나를 $e^x$나 $\sec^2 x$로 바꾼 적분도 직접 풀어 보세요.