합동인 삼각형 — SSS, SAS, ASA, AAS & HL

합동인 삼각형은 크기와 모양이 같은 삼각형입니다. 대부분의 기하 문제에서는 SSS, SAS, ASA, AAS, HL 중 하나로 합동을 증명합니다. 또 자주 쓰는 잘못된 판단, 특히 AAA와 SSA가 왜 성립하지 않는지도 알아야 합니다.

한 삼각형을 평행이동하거나 회전하거나 대칭이동해서 다른 삼각형과 정확히 겹치게 할 수 있다면, 두 삼각형은 합동입니다. 꼭짓점의 순서는 어떤 부분끼리 대응하는지를 알려 주므로 중요합니다.

합동인 삼각형의 의미

만약 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 이면, 대응하는 부분은 서로 같습니다:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

이는 다음을 뜻합니다.

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

그리고

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

식 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 는 $A$가 $D$에, $B$가 $E$에, $C$가 $F$에 대응한다는 뜻입니다. 글자의 순서를 잘못 쓰면 대응하는 변과 각을 잘못 짝지을 수 있습니다.

성립하는 삼각형의 합동 조건

SSS: 변-변-변

세 변의 길이가 모두 같으면 두 삼각형은 합동입니다.

세 변의 길이는 대칭이동까지 고려하면 삼각형 하나를 유일하게 결정합니다.

SAS: 변-각-변

두 변과 그 사이의 끼인각이 같으면 두 삼각형은 합동입니다.

여기서 중요한 조건은 끼인각입니다. 반드시 주어진 두 변이 이루는 각이어야 합니다.

ASA: 각-변-각

두 각과 그 사이의 끼인변이 같으면 두 삼각형은 합동입니다.

두 각이 정해지면 세 번째 각도 자동으로 정해집니다. 그리고 한 변이 삼각형의 크기를 결정합니다.

AAS: 각-각-변

두 각과 끼인변이 아닌 한 변이 같으면 두 삼각형은 합동입니다.

이것이 성립하는 이유도 ASA와 같습니다. 두 각이 모양을 정하고, 한 변이 크기를 정합니다.

HL: 빗변-한 변

HL은 직각삼각형에서만 적용됩니다. 두 직각삼각형의 빗변이 같고 한 변이 각각 같으면 두 삼각형은 합동입니다.

직각이라는 조건이 없으면 HL은 적용할 수 없습니다.

SAS 예시 하나

다음과 같다고 해 봅시다.

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

그리고 각 삼각형에서 주어진 각은 주어진 두 변 사이에 있습니다.

이 정보는 SAS에 충분합니다.

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

따라서 두 삼각형은 합동입니다.

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

그다음에는 모든 대응하는 부분이 서로 같습니다. 예를 들어 $BC = EF$ 이고 $\angle B = \angle E$ 입니다.

핵심은 수치 자체보다 위치입니다. 같은 각이 같은 두 변 사이에 있으므로 이것은 SSA가 아니라 SAS입니다.

AAA와 SSA만으로는 왜 부족한가

AAA

AAA는 합동을 증명하지 못합니다. 오직 닮음만 증명합니다.

예를 들어 두 정삼각형은 각이 모두 $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$ 일 수 있지만 변의 길이는 서로 다를 수 있습니다.

SSA

SSA는 일반적으로 올바른 합동 조건이 아닙니다. 두 변과 끼인각이 아닌 한 각이 주어지면, 서로 다른 삼각형이 둘 이상 나올 수도 있고 아예 삼각형이 만들어지지 않을 수도 있습니다.

그래서 SSA를 애매한 경우라고 부릅니다. 흔한 예외는 HL인데, 이것은 직각삼각형일 때만 성립합니다.

삼각형 합동에서 자주 하는 실수

1. 주어진 각이 두 변 사이의 각이 아닌데 SAS를 사용하는 것.
2. 직각삼각형이라고 주어지거나 표시되지 않았는데 HL을 사용하는 것.
3. AAA가 닮음이 아니라 합동을 증명한다고 생각하는 것.
4. 합동식을 쓸 때 꼭짓점의 대응을 잘못 맞추는 것.

합동인 삼각형은 어디에 쓰이나

합동인 삼각형은 기하 증명, 작도 문제, 좌표기하, 그리고 같은 부품이 정확히 맞아야 하는 설계 작업에 자주 등장합니다.

특히 문제에서 몇 개의 길이나 각만 주어졌는데 더 많은 정보를 물을 때 매우 유용합니다. 한 번 합동을 증명하면 나머지 대응하는 부분도 확실하게 사용할 수 있습니다.

비슷한 경우를 직접 생각해 보기

빗변이 $10$이고 한 변이 $6$인 두 직각삼각형을 생각해 보세요. HL로 합동을 증명할 수 있는 것은 두 삼각형이 모두 직각삼각형일 때뿐입니다. 이 조건을 빼면 논리가 성립하지 않는데, 이것이 HL이 특별한 경우라는 점을 기억하는 좋은 방법입니다.