合同な三角形 — SSS・SAS・ASA・AAS・HL

合同な三角形とは、大きさと形が同じ三角形のことです。多くの幾何の問題では、SSS、SAS、ASA、AAS、HLの5つの条件のいずれかで合同を示します。あわせて、AAAやSSAのように使えそうで使えないものも知っておく必要があります。

一方の三角形を平行移動・回転・反転して、もう一方にぴったり重ねられるなら、その2つの三角形は合同です。頂点の順序は、どの部分どうしが対応しているかを表すので重要です。

合同な三角形の意味

もし $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ なら、対応する部分は等しくなります。

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

これは

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

かつ

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

を意味します。

式 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ では、$A$ は $D$、$B$ は $E$、$C$ は $F$ に対応しています。文字の順序を間違えると、辺や角の対応も間違ってしまいます。

成り立つ三角形の合同条件

SSS: 辺辺辺

3組の辺の長さがすべて等しければ、2つの三角形は合同です。

3辺の長さが決まれば、反転を除いて三角形は1つに定まります。

SAS: 辺角辺

2組の辺と、その間の角がそれぞれ等しければ、2つの三角形は合同です。

大事なのは挟角であることです。つまり、わかっている2辺によって作られる角でなければなりません。

ASA: 角辺角

2組の角と、その間の辺がそれぞれ等しければ、2つの三角形は合同です。

2つの角が決まれば、3つ目の角も自動的に決まります。さらに1辺がわかることで、三角形の大きさも決まります。

AAS: 角角辺

2組の角と、その間ではない1辺がそれぞれ等しければ、2つの三角形は合同です。

これが成り立つ理由もASAと同じです。2つの角で形が決まり、1辺で大きさが決まります。

HL: 斜辺と他の1辺

HLが使えるのは直角三角形だけです。2つの直角三角形で、斜辺が等しく、さらに1組の辺が等しければ合同です。

直角であるという条件がなければ、HLは使えません。

SASの例

次のことがわかっているとします。

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

そして、それぞれの三角形でわかっている角は、わかっている2辺の間にあります。

これでSASが使えます。

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

したがって、三角形は合同です。

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

このあとは、対応する部分はすべて等しくなります。たとえば、$BC = EF$、$\angle B = \angle E$ です。

ここで大切なのは数値そのものではなく、位置関係です。等しい角が等しい2辺の間にあるので、これはSSAではなくSASです。

AAAとSSAではなぜ不十分か

AAA

AAAでは合同は示せません。示せるのは相似だけです。

たとえば、2つの正三角形がどちらも角 $60^\circ$、$60^\circ$、$60^\circ$ をもっていても、辺の長さは異なることがあります。

SSA

SSAは一般には有効な合同条件ではありません。2組の辺と、その間ではない角がわかっていても、できる三角形が複数あることもあれば、まったく作れないこともあります。

そのためSSAは「あいまいな場合」と呼ばれます。よくある特別な例外がHLで、これは直角三角形に限って成り立ちます。

三角形の合同でよくある間違い

1. わかっている角が2辺の間にないのに、SASを使ってしまう。
2. 直角三角形だと示されていないのに、HLを使ってしまう。
3. AAAで合同が示せると思い、相似との違いを見落とす。
4. 合同を表すときに頂点の対応を間違える。

合同な三角形はどこで使うか

合同な三角形は、幾何の証明、作図の問題、座標幾何、部品をぴったり合わせる必要がある設計などで使われます。

特に、問題で少数の辺や角しか与えられていないのに、さらに多くの情報を求めるときに役立ちます。いったん合同が示せれば、残りの対応する部分も安心して使えます。

似たケースを試してみる

斜辺が $10$、他の1辺が $6$ の2つの三角形を考えてみましょう。HLで合同といえるのは、両方が直角三角形である場合だけです。その条件を外すと議論は成り立たなくなるので、HLが特別な場合だと覚えるのに役立ちます。