Przystające trójkąty — SSS, SAS, ASA, AAS i HL

Przystające trójkąty to trójkąty o takim samym kształcie i rozmiarze. W większości zadań z geometrii przystawanie udowadnia się za pomocą jednego z pięciu kryteriów: SSS, SAS, ASA, AAS lub HL. Warto też wiedzieć, które popularne skróty myślowe zawodzą, zwłaszcza AAA i SSA.

Jeśli jeden trójkąt można przesunąć, obrócić lub odbić tak, aby dokładnie pokrył się z drugim, to trójkąty są przystające. Kolejność wierzchołków ma znaczenie, ponieważ pokazuje, które elementy sobie odpowiadają.

Co oznaczają przystające trójkąty

Jeśli $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, to odpowiadające sobie elementy są równe:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

To znaczy, że

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

oraz

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

Zapis $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ przyporządkowuje $A$ do $D$, $B$ do $E$ i $C$ do $F$. Jeśli zapiszesz litery w złej kolejności, możesz dopasować niewłaściwe boki i kąty.

Kryteria przystawania trójkątów, które działają

SSS: bok-bok-bok

Jeśli wszystkie trzy długości boków są równe, to trójkąty są przystające.

Trzy długości boków wyznaczają jeden trójkąt, z dokładnością do odbicia.

SAS: bok-kąt-bok

Jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi są równe, to trójkąty są przystające.

Kluczowy jest kąt zawarty. Musi to być kąt utworzony przez dwa znane boki.

ASA: kąt-bok-kąt

Jeśli dwa kąty i bok zawarty między nimi są równe, to trójkąty są przystające.

Gdy ustalone są dwa kąty, trzeci też jest już wyznaczony. Bok ustala rozmiar trójkąta.

AAS: kąt-kąt-bok

Jeśli dwa kąty i bok niezawarty między nimi są równe, to trójkąty są przystające.

Działa to z tego samego powodu co ASA: dwa kąty ustalają kształt, a jeden bok ustala rozmiar.

HL: przeciwprostokątna-przyprostokątna

HL dotyczy tylko trójkątów prostokątnych. Jeśli dwa trójkąty prostokątne mają tę samą przeciwprostokątną i jedną równą przyprostokątną, są przystające.

Bez warunku kąta prostego HL nie ma zastosowania.

Przykład z SAS

Załóżmy, że wiadomo, iż

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

oraz w każdym trójkącie znany kąt leży między dwoma znanymi bokami.

To wystarcza do zastosowania SAS:

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

Zatem trójkąty są przystające:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Od tego momentu wszystkie odpowiadające sobie elementy są równe. Na przykład $BC = EF$ oraz $\angle B = \angle E$.

Kluczowa obserwacja dotyczy położenia, a nie liczb. Równy kąt leży między równymi bokami, więc jest to SAS, a nie SSA.

Dlaczego AAA i SSA nie wystarczają

AAA

AAA nie dowodzi przystawania. Pokazuje jedynie, że trójkąty są podobne.

Na przykład dwa trójkąty równoboczne mogą mieć kąty $60^\circ$, $60^\circ$ i $60^\circ$, ale różne długości boków.

SSA

SSA nie jest ogólnym kryterium przystawania. Znajomość dwóch boków i kąta niezawartego między nimi może prowadzić do więcej niż jednego trójkąta, a czasem do żadnego.

Dlatego SSA nazywa się przypadkiem niejednoznacznym. Najczęściej spotykanym szczególnym wyjątkiem jest HL, które działa tylko dlatego, że trójkąty są prostokątne.

Typowe błędy przy przystawaniu trójkątów

1. Używanie SAS, gdy znany kąt nie leży między dwoma znanymi bokami.
2. Używanie HL dla trójkątów, o których nie podano ani nie pokazano, że są prostokątne.
3. Zakładanie, że AAA dowodzi przystawania zamiast podobieństwa.
4. Dopasowywanie niewłaściwych wierzchołków przy zapisie przystawania.

Gdzie wykorzystuje się przystające trójkąty

Przystające trójkąty pojawiają się w dowodach geometrycznych, zadaniach konstrukcyjnych, geometrii analitycznej oraz w projektowaniu, gdzie dopasowywane elementy muszą idealnie do siebie pasować.

Są szczególnie przydatne wtedy, gdy w zadaniu podano tylko kilka długości lub kątów, ale trzeba wyznaczyć więcej. Gdy udowodnisz przystawanie, możesz pewnie korzystać z pozostałych odpowiadających sobie elementów.

Spróbuj podobnego przypadku

Weź dwa trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej $10$ i jednej przyprostokątnej $6$. HL dowodzi ich przystawania tylko wtedy, gdy oba trójkąty są prostokątne. Usuń ten warunek, a rozumowanie przestaje działać, co dobrze pomaga zapamiętać, dlaczego HL jest przypadkiem szczególnym.