Triângulos Congruentes — SSS, SAS, ASA, AAS e HL

Triângulos congruentes são triângulos com o mesmo tamanho e a mesma forma. Na maioria dos problemas de geometria, você prova a congruência com um de cinco critérios: SSS, SAS, ASA, AAS ou HL. Também é importante saber quais atalhos comuns falham, especialmente AAA e SSA.

Se um triângulo puder ser deslocado, girado ou refletido de modo a coincidir exatamente com o outro, então os triângulos são congruentes. A ordem dos vértices importa porque ela indica quais partes correspondem entre si.

O que significam triângulos congruentes

Se $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, então as partes correspondentes são iguais:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Isso significa que

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

e

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

A afirmação $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ faz corresponder $A$ com $D$, $B$ com $E$ e $C$ com $F$. Se você escrever as letras na ordem errada, pode acabar associando lados e ângulos incorretos.

Critérios de congruência de triângulos que funcionam

SSS: Lado-Lado-Lado

Se os três comprimentos dos lados coincidem, os triângulos são congruentes.

Três comprimentos de lados determinam um único triângulo, a menos de reflexão.

SAS: Lado-Ângulo-Lado

Se dois lados e o ângulo compreendido entre eles coincidem, os triângulos são congruentes.

A condição é o ângulo compreendido. Ele deve ser o ângulo formado pelos dois lados conhecidos.

ASA: Ângulo-Lado-Ângulo

Se dois ângulos e o lado compreendido entre eles coincidem, os triângulos são congruentes.

Quando dois ângulos estão fixados, o terceiro também fica determinado. O lado fixa o tamanho do triângulo.

AAS: Ângulo-Ângulo-Lado

Se dois ângulos e um lado não compreendido coincidem, os triângulos são congruentes.

Isso funciona pelo mesmo motivo do ASA: dois ângulos fixam a forma, e um lado fixa o tamanho.

HL: Hipotenusa-Cateto

HL se aplica apenas a triângulos retângulos. Se dois triângulos retângulos têm a mesma hipotenusa e um cateto correspondente, eles são congruentes.

Sem a condição de ângulo reto, HL não se aplica.

Um exemplo resolvido com SAS

Suponha que você saiba

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

e que, em cada triângulo, o ângulo conhecido esteja entre os dois lados conhecidos.

Isso é suficiente para SAS:

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

Logo, os triângulos são congruentes:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Depois disso, toda parte correspondente coincide. Por exemplo, $BC = EF$ e $\angle B = \angle E$.

A observação principal é posicional, não numérica. O ângulo igual está entre os lados iguais, então isso é SAS e não SSA.

Por que AAA e SSA não bastam

AAA

AAA não prova congruência. Ele prova apenas que os triângulos são semelhantes.

Por exemplo, dois triângulos equiláteros podem ter ângulos de $60^\circ$, $60^\circ$ e $60^\circ$, mas comprimentos de lado diferentes.

SSA

SSA não é um critério válido de congruência em geral. Conhecer dois lados e um ângulo não compreendido pode produzir mais de um triângulo, ou às vezes nenhum triângulo.

Por isso, SSA é chamado de caso ambíguo. A exceção especial mais comum é HL, que funciona apenas porque os triângulos são retângulos.

Erros comuns na congruência de triângulos

1. Usar SAS quando o ângulo conhecido não está entre os dois lados conhecidos.
2. Usar HL em triângulos que não foram informados ou mostrados como triângulos retângulos.
3. Supor que AAA prova congruência em vez de semelhança.
4. Associar os vértices errados ao escrever uma afirmação de congruência.

Onde os triângulos congruentes são usados

Triângulos congruentes aparecem em demonstrações geométricas, problemas de construção, geometria analítica e trabalhos de projeto em que peças correspondentes precisam se encaixar exatamente.

Eles são especialmente úteis quando um problema fornece apenas alguns comprimentos ou ângulos, mas pede mais informações. Depois de provar a congruência, você pode usar com segurança o restante das partes correspondentes.

Tente um caso parecido

Considere dois triângulos retângulos com hipotenusa $10$ e um cateto $6$. HL prova que eles são congruentes apenas se ambos forem triângulos retângulos. Remova essa condição e o argumento falha, o que é uma boa forma de lembrar por que HL é um caso especial.