이등변삼각형의 성질

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형입니다. 가장 중요한 성질은 간단합니다. 같은 두 변에 마주 보는 각의 크기가 같아서 두 밑각이 서로 같습니다. 또 꼭대기 꼭짓점에서 밑변으로 높이를 그리면 삼각형이 서로 합동인 두 직각삼각형으로 나뉘어, 많은 기하 문제를 더 쉽게 풀 수 있습니다.

이등변삼각형의 성질

삼각형 $ABC$에서 $AB = AC$라고 합시다. 그러면 변 $BC$가 밑변이고, $B$와 $C$의 밑각은 서로 같습니다.

또 하나 유용한 사실은 특정한 선분 하나와 관련이 있습니다. $A$에서 밑변 $BC$에 수선을 내리면, 그 선분은 다음 성질을 가집니다.

1. 밑변과 $90^\circ$로 만나므로 높이입니다.
2. $BC$를 같은 두 부분으로 나누므로 밑변의 중선입니다.
3. $A$의 꼭짓각을 이등분합니다.

이 추가 성질들은 대칭성에서 나옵니다. 따라서 모든 삼각형의 모든 높이에 그대로 적용되는 것은 아닙니다.

높이가 왜 그렇게 유용할까

높이를 그리면 하나의 이등변삼각형이 서로 같은 두 직각삼각형으로 바뀝니다. 그래서 삼각형 전체를 한꺼번에 다루기보다, 직각삼각형의 성질, 특히 피타고라스 정리를 사용할 수 있습니다.

이 방법은 같은 두 변 사이의 꼭짓점에서 밑변으로 높이를 내렸을 때만 성립합니다. 다른 선분을 그렸다면, 위의 세 가지 역할을 모두 한다고 가정하면 안 됩니다.

예제: 높이와 넓이 구하기

한 이등변삼각형의 세 변의 길이가 $5$, $5$, $6$이라고 합시다.

같은 두 변은 $5$와 $5$이므로 밑변은 $6$입니다. 꼭짓점에서 밑변으로 높이를 그립니다. 이등변삼각형에서는 이 높이가 밑변을 같은 두 부분으로 나누므로, 각 부분의 길이는 $3$입니다.

이제 나뉜 직각삼각형 하나를 사용합니다. 높이를 $h$라고 하면,

$$h^2 + 3^2 = 5^2$$ $$h^2 + 9 = 25$$ $$h^2 = 16$$ $$h = 4$$

따라서 높이는 $4$입니다. 이제 삼각형의 넓이 공식을 사용하면,

$$A = \frac{1}{2}bh = \frac{1}{2}(6)(4) = 12$$

넓이는 $12$ 제곱단위입니다.

자주 쓰이는 역

반대 방향의 명제도 중요합니다. 삼각형에서 두 각의 크기가 같으면, 그 각들에 마주 보는 두 변의 길이도 같으므로 그 삼각형은 이등변삼각형입니다.

이 역은 증명 문제에서 자주 등장합니다. 어떤 문제는 먼저 각에 대한 정보를 주고, 그로부터 두 변의 길이가 같아야 한다는 결론을 이끌어 내게 합니다.

이등변삼각형에서 자주 하는 실수

1. 모든 삼각형에서 아무 높이나 반대쪽 변을 반으로 나눈다고 생각하는 것
2. 어떤 각이 같은지 헷갈리는 것. 같은 각은 같은 변에 마주 보는 각입니다.
3. 삼각형이 실제로 이등변삼각형인지 확인하지 않고 높이의 성질을 사용하는 것
4. 일부 교과서에서는 이등변삼각형을 적어도 두 변의 길이가 같은 삼각형으로 정의하므로, 정삼각형도 포함된다는 점을 잊는 것

이 성질을 언제 쓰나

이등변삼각형의 성질은 기하 증명, 좌표기하, 그리고 대칭성을 이용하면 시간을 줄일 수 있는 넓이·높이 문제에서 자주 나옵니다. 보통은 같은 두 변을 찾고, 밑각이 같음을 확인한 뒤, 더 깔끔한 풀이가 필요하면 높이를 그리는 방식으로 접근합니다.

비슷한 문제에 도전해 보기

이번에는 변의 길이가 $13$, $13$, $10$인 경우를 직접 풀어 보세요. 높이를 그리고, 높이를 구한 다음, 넓이도 구해 보세요. 다음 단계로 비슷한 내용을 더 보고 싶다면 피타고라스 정리나 삼각형의 넓이를 살펴보면서, 같은 직각삼각형 아이디어가 어떻게 다시 쓰이는지 비교해 보세요.