Triangles congruents — SSS, SAS, ASA, AAS et HL

Des triangles congruents sont des triangles qui ont la même taille et la même forme. Dans la plupart des problèmes de géométrie, on prouve la congruence avec l’un des cinq critères suivants : SSS, SAS, ASA, AAS ou HL. Il faut aussi savoir quels raccourcis courants ne fonctionnent pas, en particulier AAA et SSA.

Si un triangle peut être déplacé, tourné ou réfléchi de façon à se superposer exactement à l’autre, alors les triangles sont congruents. L’ordre des sommets est important, car il indique quels éléments se correspondent.

Ce que signifie la congruence de triangles

Si $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, alors les éléments correspondants sont égaux :

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Cela signifie que

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

et

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

L’écriture $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ associe $A$ à $D$, $B$ à $E$ et $C$ à $F$. Si vous écrivez les lettres dans le mauvais ordre, vous risquez d’associer les mauvais côtés et les mauvais angles.

Critères de congruence des triangles qui fonctionnent

SSS : côté-côté-côté

Si les trois longueurs de côtés correspondent, alors les triangles sont congruents.

Trois longueurs de côtés déterminent un triangle unique, à une réflexion près.

SAS : côté-angle-côté

Si deux côtés et l’angle compris entre eux correspondent, alors les triangles sont congruents.

La condition importante est l’angle compris. Il doit être l’angle formé par les deux côtés connus.

ASA : angle-côté-angle

Si deux angles et le côté compris entre eux correspondent, alors les triangles sont congruents.

Une fois que deux angles sont fixés, le troisième l’est aussi. Le côté fixe la taille du triangle.

AAS : angle-angle-côté

Si deux angles et un côté non compris correspondent, alors les triangles sont congruents.

Cela fonctionne pour la même raison que ASA : deux angles fixent la forme, et un côté fixe la taille.

HL : hypoténuse-côté

HL s’applique uniquement aux triangles rectangles. Si deux triangles rectangles ont la même hypoténuse et un côté correspondant égal, alors ils sont congruents.

Sans la condition d’angle droit, HL ne s’applique pas.

Un exemple résolu avec SAS

Supposons que l’on sache

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

et que, dans chaque triangle, l’angle connu soit compris entre les deux côtés connus.

Cela suffit pour SAS :

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

Donc les triangles sont congruents :

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Après cela, tous les éléments correspondants sont égaux. Par exemple, $BC = EF$ et $\angle B = \angle E$.

L’idée essentielle est une question de position, pas de valeur numérique. L’angle égal est situé entre les côtés égaux, donc c’est un cas SAS et non SSA.

Pourquoi AAA et SSA ne suffisent pas

AAA

AAA ne prouve pas la congruence. Il prouve seulement que les triangles sont semblables.

Par exemple, deux triangles équilatéraux peuvent tous deux avoir des angles de $60^\circ$, $60^\circ$ et $60^\circ$, tout en ayant des longueurs de côtés différentes.

SSA

SSA n’est pas un critère de congruence valable en général. Connaître deux côtés et un angle non compris peut produire plus d’un triangle, ou parfois aucun triangle.

C’est pourquoi on appelle SSA le cas ambigu. L’exception spéciale la plus courante est HL, qui fonctionne uniquement parce que les triangles sont rectangles.

Erreurs fréquentes avec la congruence des triangles

1. Utiliser SAS alors que l’angle connu n’est pas compris entre les deux côtés connus.
2. Utiliser HL pour des triangles dont on n’a pas dit ou montré qu’ils sont rectangles.
3. Supposer que AAA prouve la congruence au lieu de la similitude.
4. Associer les mauvais sommets en écrivant une relation de congruence.

Où la congruence des triangles est utilisée

Les triangles congruents apparaissent dans les démonstrations de géométrie, les problèmes de construction, la géométrie analytique et les travaux de conception où des pièces identiques doivent s’ajuster exactement.

Ils sont particulièrement utiles lorsqu’un problème ne donne que quelques longueurs ou angles mais en demande davantage. Une fois la congruence prouvée, on peut utiliser les autres éléments correspondants en toute confiance.

Essayez un cas similaire

Prenez deux triangles rectangles d’hypoténuse $10$ et avec un côté de longueur $6$. HL prouve qu’ils sont congruents seulement si les deux triangles sont rectangles. Si l’on retire cette condition, l’argument ne fonctionne plus, ce qui est une bonne façon de se rappeler pourquoi HL est un cas particulier.