Kongruente Dreiecke — SSS, SAS, ASA, AAS & HL

Kongruente Dreiecke sind Dreiecke mit derselben Größe und Form. In den meisten Geometrieaufgaben weist man Kongruenz mit einem von fünf Kongruenzsätzen nach: SSS, SAS, ASA, AAS oder HL. Du solltest auch wissen, welche verbreiteten Abkürzungen nicht funktionieren, besonders AAA und SSA.

Wenn ein Dreieck so verschoben, gedreht oder gespiegelt werden kann, dass es genau auf dem anderen liegt, dann sind die Dreiecke kongruent. Die Reihenfolge der Eckpunkte ist wichtig, weil sie angibt, welche Teile einander entsprechen.

Was kongruente Dreiecke bedeuten

Wenn $\triangle ABC \cong \triangle DEF$, dann sind entsprechende Teile gleich:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Das bedeutet

$$AB = DE,\ BC = EF,\ AC = DF$$

und

$$\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F$$

Die Aussage $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ordnet $A$ zu $D$, $B$ zu $E$ und $C$ zu $F$ zu. Wenn du die Buchstaben in der falschen Reihenfolge schreibst, kannst du die falschen Seiten und Winkel einander zuordnen.

Kongruenzsätze für Dreiecke, die funktionieren

SSS: Seite-Seite-Seite

Wenn alle drei Seitenlängen übereinstimmen, sind die Dreiecke kongruent.

Drei Seitenlängen bestimmen ein Dreieck eindeutig, bis auf Spiegelung.

SAS: Seite-Winkel-Seite

Wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel zwischen ihnen übereinstimmen, sind die Dreiecke kongruent.

Die entscheidende Bedingung ist der eingeschlossene Winkel. Es muss der Winkel sein, der von den beiden bekannten Seiten gebildet wird.

ASA: Winkel-Seite-Winkel

Wenn zwei Winkel und die eingeschlossene Seite zwischen ihnen übereinstimmen, sind die Dreiecke kongruent.

Sobald zwei Winkel festliegen, ist auch der dritte Winkel festgelegt. Die Seite legt die Größe des Dreiecks fest.

AAS: Winkel-Winkel-Seite

Wenn zwei Winkel und eine nicht eingeschlossene Seite übereinstimmen, sind die Dreiecke kongruent.

Das funktioniert aus demselben Grund wie ASA: Zwei Winkel legen die Form fest, und eine Seite legt die Größe fest.

HL: Hypotenuse-Kathete

HL gilt nur für rechtwinklige Dreiecke. Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke dieselbe Hypotenuse und eine übereinstimmende Kathete haben, sind sie kongruent.

Ohne die Bedingung des rechten Winkels ist HL nicht anwendbar.

Ein ausgearbeitetes SAS-Beispiel

Angenommen, du weißt

$$AB = DE = 7,\quad AC = DF = 5,\quad \angle A = \angle D = 40^\circ$$

und in jedem Dreieck liegt der bekannte Winkel zwischen den beiden bekannten Seiten.

Das reicht für SAS:

$$AB = DE$$ $$AC = DF$$ $$\angle A = \angle D$$

Also sind die Dreiecke kongruent:

$$\triangle ABC \cong \triangle DEF$$

Danach stimmt jeder entsprechende Teil überein. Zum Beispiel gilt $BC = EF$ und $\angle B = \angle E$.

Die entscheidende Beobachtung ist die Lage, nicht der Zahlenwert. Der gleiche Winkel liegt zwischen den gleichen Seiten, also ist das SAS und nicht SSA.

Warum AAA und SSA nicht ausreichen

AAA

AAA beweist keine Kongruenz. Es beweist nur, dass die Dreiecke ähnlich sind.

Zum Beispiel können zwei gleichseitige Dreiecke beide die Winkel $60^\circ$, $60^\circ$ und $60^\circ$ haben, aber unterschiedliche Seitenlängen.

SSA

SSA ist im Allgemeinen kein gültiger Kongruenzsatz. Wenn man zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel kennt, kann mehr als ein Dreieck entstehen, oder manchmal gar kein Dreieck.

Deshalb nennt man SSA den mehrdeutigen Fall. Die häufige besondere Ausnahme ist HL, das nur funktioniert, weil die Dreiecke rechtwinklig sind.

Häufige Fehler bei der Dreieckskongruenz

1. SAS verwenden, obwohl der bekannte Winkel nicht zwischen den beiden bekannten Seiten liegt.
2. HL bei Dreiecken verwenden, die nicht als rechtwinklig angegeben oder dargestellt sind.
3. Annehmen, dass AAA Kongruenz statt Ähnlichkeit beweist.
4. Beim Schreiben einer Kongruenzaussage die falschen Eckpunkte einander zuordnen.

Wo kongruente Dreiecke verwendet werden

Kongruente Dreiecke kommen in geometrischen Beweisen, Konstruktionsaufgaben, der Koordinatengeometrie und in der Gestaltung vor, wenn passende Teile exakt zusammenpassen müssen.

Sie sind besonders nützlich, wenn eine Aufgabe nur wenige Längen oder Winkel angibt, aber nach weiteren fragt. Sobald du Kongruenz bewiesen hast, kannst du die übrigen entsprechenden Teile sicher verwenden.

Probiere einen ähnlichen Fall

Nimm zwei rechtwinklige Dreiecke mit Hypotenuse $10$ und einer Kathete $6$. HL beweist ihre Kongruenz nur dann, wenn beide Dreiecke rechtwinklig sind. Nimmt man diese Bedingung weg, scheitert das Argument, und genau so merkt man sich gut, warum HL ein Sonderfall ist.