미분 공식 정리

미분 공식은 함수의 변화율, 즉 도함수를 빠르게 구하는 규칙입니다. 미분 문제에서 먼저 해야 할 일은 계산이 아니라 식의 구조를 보는 것입니다. $x^n$ 꼴이면 거듭제곱 미분, 합이면 항별 미분, 곱이면 곱의 미분법, 나눗셈이면 몫의 미분법, 함수 안에 함수가 있으면 합성함수 미분법을 씁니다.

이 페이지에서는 자주 쓰는 미분 공식을 먼저 정리하고, 어떤 공식이 필요한지 구별하는 법, 대표 예제, 자주 하는 실수를 한 번에 정리합니다.

자주 쓰는 미분 공식 정리

가장 먼저 익혀 둘 공식은 아래입니다.

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

상수 $c$는 변하지 않으므로 미분하면 $0$입니다.

$$\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$$

거듭제곱 함수의 기본 공식입니다. 고등학교 기본 문제에서는 주로 자연수 거듭제곱에서 시작하고, $\sqrt{x}=x^{1/2}$ 같은 형태는 정의역을 함께 확인합니다.

$$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$

지수함수 $e^x$는 미분해도 자기 자신이 나옵니다.

$$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \qquad (a > 0,\ a \ne 1)$$

밑이 $a$인 일반 지수함수는 $\ln a$가 함께 붙습니다.

$$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \qquad (x > 0)$$

로그함수는 정의역 조건 $x > 0$를 함께 봐야 합니다. $\ln x$가 정의되지 않는 점에서는 이 공식을 그대로 쓸 수 없습니다.

$$\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x,\qquad \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

삼각함수 중 가장 기본이 되는 두 공식입니다.

$$\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$$

이 공식은 $\cos x \ne 0$인, 즉 $\tan x$가 정의되는 구간에서 씁니다.

어떤 미분 공식을 써야 할까

미분은 계산보다 구조 판별이 먼저입니다. 아래처럼 바깥 모양을 먼저 보면 대부분 방향이 바로 잡힙니다.

• $x^5$, $\sqrt{x}$처럼 거듭제곱 형태면 거듭제곱 미분 공식을 씁니다.
• $x^3 - 4x + 7$처럼 합이나 차면 각 항을 따로 미분합니다.
• $x^2(3x-1)$처럼 곱이면 곱의 미분법을 씁니다.
• $\frac{x^2+1}{x-2}$처럼 나눗셈이면 몫의 미분법을 씁니다.
• $(2x+1)^4$, $\sin(x^2)$처럼 안에 또 함수가 있으면 합성함수 미분법이 필요합니다.

중요한 점은 공식 하나만 쓰는 문제가 많지 않다는 것입니다. 바깥 구조부터 정한 다음 안쪽으로 들어가면서 필요한 공식을 이어서 적용하면 됩니다.

꼭 알아야 할 미분법 공식 4개

합과 차의 미분

$$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

더해진 식은 각각 따로 미분하면 됩니다. 가장 실수하기 적은 공식이지만, 부호를 놓치기 쉽습니다.

곱의 미분법

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

둘 다 $x$에 따라 변하는 함수의 곱이면 한쪽만 미분하면 안 됩니다. 미분 결과가 두 항으로 나오는 것이 핵심입니다.

몫의 미분법

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \qquad (g(x) \ne 0)$$

분모를 제곱한다는 점과, 분자에서 부호가 $-$라는 점을 자주 틀립니다.

합성함수 미분법

$$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

함수 안에 다른 함수가 들어 있으면 바깥 함수를 먼저 미분하고, 마지막에 안쪽 함수의 미분을 곱합니다.

왜 미분 공식이 여러 개인가

미분은 "조금 변했을 때 값이 얼마나 달라지는가"를 보는 계산입니다. 합은 각 부분의 변화량을 더하면 되지만, 곱은 두 부분이 동시에 영향을 줍니다. 함수가 함수 안에 들어가 있으면 안쪽 변화가 바깥 변화에 다시 전달됩니다.

그래서 식의 구조가 다르면 미분 공식도 달라집니다. 공식을 외우는 것보다, 식의 바깥 모양을 먼저 읽는 습관이 훨씬 중요합니다.

미분 공식 예제: 곱의 미분과 합성함수 미분을 함께 쓰기

다음 함수를 미분해 보겠습니다.

$$f(x) = x^2(3x - 1)^4$$

이 식의 바깥 구조는 "곱"입니다. 따라서 먼저 곱의 미분법을 씁니다.

$$f'(x) = (x^2)'(3x - 1)^4 + x^2 \cdot \big((3x - 1)^4\big)'$$

첫 번째 항은 바로 계산됩니다.

$$(x^2)' = 2x$$

두 번째는 $(3x - 1)^4$이므로 합성함수 미분법이 필요합니다.

$$\big((3x - 1)^4\big)' = 4(3x - 1)^3 \cdot 3 = 12(3x - 1)^3$$

이 값을 대입하면

$$f'(x) = 2x(3x - 1)^4 + 12x^2(3x - 1)^3$$

여기까지가 이미 정답입니다. 공통인수를 묶으면 더 짧게 쓸 수도 있습니다.

$$f'(x) = 2x(3x - 1)^3(9x - 1)$$

처럼 쓸 수도 있습니다.

이 예제의 핵심은 계산보다 순서입니다. 바깥은 곱의 미분으로 보고, 두 번째 항 안에서는 다시 합성함수 미분을 적용해야 합니다.

자주 하는 실수

• 식 전체를 무조건 거듭제곱 공식으로 처리하는 실수. 실제 구조가 곱이나 합성함수일 수 있습니다.
• 합성함수 미분에서 안쪽 미분을 빠뜨리는 실수. $(3x - 1)^4$의 미분은 $4(3x - 1)^3$에서 끝나지 않고, 여기에 다시 $3$을 곱해야 합니다.
• 곱의 미분법에서 한 항만 쓰는 실수. 곱의 미분 결과는 반드시 두 항으로 시작합니다.
• 몫의 미분법에서 분모를 제곱하지 않거나 분자 부호를 바꾸는 실수.

미분 공식을 어디에 쓰나

학교 수학에서는 접선의 기울기, 증가와 감소, 극값, 그래프 해석에서 계속 쓰입니다. 물리에서는 속도와 가속도처럼 변화율을 나타낼 때 쓰이고, 경제나 공학에서도 어떤 양이 얼마나 빠르게 바뀌는지 볼 때 사용합니다.

즉, 미분 공식은 단순 암기 목록이 아니라 변화율을 계산하는 기본 도구입니다.

직접 한 문제 더 해보기

아래 식은 바깥 구조가 곱이고, 첫 번째 인수 안에는 합성함수 미분이 들어 있습니다.

$$g(x) = (2x + 5)^3 \cdot x^4$$

먼저 곱의 미분법을 쓰고, $(2x + 5)^3$을 미분할 때 안쪽 미분 $2$를 빠뜨리지 않는지 확인해 보세요. 비슷한 식을 한 문제만 더 직접 풀어 보면 어떤 미분 공식을 언제 써야 하는지 훨씬 빨리 익숙해집니다.